Номер 23.1, страница 191 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям - номер 23.1, страница 191.
№23.1 (с. 191)
Условие. №23.1 (с. 191)
скриншот условия
 
                                23.1. Решите уравнение:
1) $\frac{3x^2 - 14x - 5}{3x^2 + x} = 0;$
2) $\frac{x^2 - 12x + 35}{x^2 - 10x + 25} = 0.$
Решение. №23.1 (с. 191)
1)
Данное уравнение является дробно-рациональным. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Это равносильно системе:
$ \begin{cases} 3x^2 - 14x - 5 = 0, \\ 3x^2 + x \neq 0. \end{cases} $
Сначала решим квадратное уравнение из числителя:
$3x^2 - 14x - 5 = 0$
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{14 + \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{14 + 16}{6} = \frac{30}{6} = 5$
$x_2 = \frac{14 - \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{14 - 16}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$
Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $3x^2 + x \neq 0$. Это условие определяет область допустимых значений (ОДЗ).
$3x^2 + x \neq 0$
$x(3x + 1) \neq 0$
Отсюда следует, что $x \neq 0$ и $3x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -\frac{1}{3}$.
Сравним корни с ОДЗ:
Корень $x_1 = 5$ входит в ОДЗ.
Корень $x_2 = -\frac{1}{3}$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, $x = -\frac{1}{3}$ является посторонним корнем.
Таким образом, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: 5.
2)
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Запишем соответствующую систему:
$ \begin{cases} x^2 - 12x + 35 = 0, \\ x^2 - 10x + 25 \neq 0. \end{cases} $
Решим первое уравнение системы:
$x^2 - 12x + 35 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 12, а их произведение равно 35. Легко подобрать корни:
$x_1 = 5$, $x_2 = 7$
(Проверка: $5+7=12$, $5 \cdot 7=35$)
Теперь проверим условие для знаменателя (ОДЗ):
$x^2 - 10x + 25 \neq 0$
Левая часть является полным квадратом разности:
$(x - 5)^2 \neq 0$
Это неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x=5$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq 5$.
Сравним корни, найденные из числителя, с ОДЗ:
Корень $x_1 = 5$ не входит в ОДЗ, поэтому он является посторонним.
Корень $x_2 = 7$ входит в ОДЗ.
Следовательно, уравнение имеет только один корень.
Ответ: 7.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 23.1 расположенного на странице 191 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №23.1 (с. 191), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    