Номер 23.1, страница 191 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям - номер 23.1, страница 191.

Условие.

23.1. Решите уравнение:

1) $\frac{3x^2 - 14x - 5}{3x^2 + x} = 0;$

2) $\frac{x^2 - 12x + 35}{x^2 - 10x + 25} = 0.$

Решение.

1)

Данное уравнение является дробно-рациональным. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Это равносильно системе:

$ \begin{cases} 3x^2 - 14x - 5 = 0, \\ 3x^2 + x \neq 0. \end{cases} $

Сначала решим квадратное уравнение из числителя:

$3x^2 - 14x - 5 = 0$

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{14 + \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{14 + 16}{6} = \frac{30}{6} = 5$

$x_2 = \frac{14 - \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{14 - 16}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $3x^2 + x \neq 0$. Это условие определяет область допустимых значений (ОДЗ).

$3x^2 + x \neq 0$

$x(3x + 1) \neq 0$

Отсюда следует, что $x \neq 0$ и $3x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -\frac{1}{3}$.

Сравним корни с ОДЗ:

Корень $x_1 = 5$ входит в ОДЗ.

Корень $x_2 = -\frac{1}{3}$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, $x = -\frac{1}{3}$ является посторонним корнем.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 5.

2)

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Запишем соответствующую систему:

$ \begin{cases} x^2 - 12x + 35 = 0, \\ x^2 - 10x + 25 \neq 0. \end{cases} $

Решим первое уравнение системы:

$x^2 - 12x + 35 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 12, а их произведение равно 35. Легко подобрать корни:

$x_1 = 5$, $x_2 = 7$

(Проверка: $5+7=12$, $5 \cdot 7=35$)

Теперь проверим условие для знаменателя (ОДЗ):

$x^2 - 10x + 25 \neq 0$

Левая часть является полным квадратом разности:

$(x - 5)^2 \neq 0$

Это неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x=5$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq 5$.

Сравним корни, найденные из числителя, с ОДЗ:

Корень $x_1 = 5$ не входит в ОДЗ, поэтому он является посторонним.

Корень $x_2 = 7$ входит в ОДЗ.

Следовательно, уравнение имеет только один корень.

Ответ: 7.