Номер 22.21, страница 188 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трехчлен - номер 22.21, страница 188.

Условие.

22.21. При каких значениях параметра $a$ неравенство выполняется при всех $x$:

1) $(a - 1)x^2 - x + 2 > 0;$

2) $ax^2 - (2a - 1)x + a + 1 < 0?$

Решение.

1) $(a - 1)x^2 - x + 2 > 0$

Для того чтобы данное неравенство выполнялось при всех значениях $x$, рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю. Это происходит, когда $a - 1 = 0$, то есть $a = 1$.

Подставим $a = 1$ в исходное неравенство:

$(1 - 1)x^2 - x + 2 > 0$

$-x + 2 > 0$

$x < 2$

Это неравенство выполняется не для всех $x$, а только для $x < 2$. Следовательно, значение $a = 1$ не является решением.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $a - 1 \neq 0$ ($a \neq 1$).

В этом случае левая часть неравенства представляет собой квадратичную функцию $y = (a - 1)x^2 - x + 2$. Графиком этой функции является парабола.

Чтобы неравенство $(a - 1)x^2 - x + 2 > 0$ выполнялось для всех $x$, парабола должна быть полностью расположена выше оси абсцисс (оси $Ox$). Это возможно только при выполнении двух условий:

1. Ветви параболы должны быть направлены вверх. Это означает, что старший коэффициент должен быть положителен: $a - 1 > 0$, откуда $a > 1$.

2. Парабола не должна пересекать ось абсцисс, то есть квадратное уравнение $(a - 1)x^2 - x + 2 = 0$ не должно иметь действительных корней. Это означает, что дискриминант $D$ должен быть отрицательным.

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(a - 1)(2) = 1 - 8(a - 1) = 1 - 8a + 8 = 9 - 8a$.

Требуем, чтобы $D < 0$:

$9 - 8a < 0$

$9 < 8a$

$a > \frac{9}{8}$

Теперь объединим оба условия в систему:

$\begin{cases} a > 1 \\ a > \frac{9}{8} \end{cases}$

Так как $\frac{9}{8} = 1.125$, то $\frac{9}{8} > 1$. Решением системы является $a > \frac{9}{8}$.

Ответ: $a \in (\frac{9}{8}; +\infty)$.

2) $ax^2 - (2a - 1)x + a + 1 < 0$

Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю. Это происходит, когда $a = 0$.

Подставим $a = 0$ в исходное неравенство:

$0 \cdot x^2 - (2 \cdot 0 - 1)x + 0 + 1 < 0$

$-(-1)x + 1 < 0$

$x + 1 < 0$

$x < -1$

Это неравенство выполняется не для всех $x$. Следовательно, значение $a = 0$ не является решением.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $a \neq 0$.

Левая часть неравенства является квадратичной функцией $y = ax^2 - (2a - 1)x + a + 1$, графиком которой является парабола.

Чтобы неравенство $ax^2 - (2a - 1)x + a + 1 < 0$ выполнялось для всех $x$, парабола должна быть полностью расположена ниже оси абсцисс. Для этого должны выполняться два условия:

1. Ветви параболы должны быть направлены вниз. Это означает, что старший коэффициент должен быть отрицателен: $a < 0$.

2. Парабола не должна пересекать ось абсцисс, то есть квадратное уравнение $ax^2 - (2a - 1)x + a + 1 = 0$ не должно иметь действительных корней. Это означает, что дискриминант $D$ должен быть отрицательным.

$D = b^2 - 4ac = (-(2a - 1))^2 - 4a(a + 1) = (2a - 1)^2 - 4a^2 - 4a = (4a^2 - 4a + 1) - 4a^2 - 4a = 1 - 8a$.

Требуем, чтобы $D < 0$:

$1 - 8a < 0$

$1 < 8a$

$a > \frac{1}{8}$

Объединим оба условия в систему:

$\begin{cases} a < 0 \\ a > \frac{1}{8} \end{cases}$

Эта система не имеет решений, так как нет такого числа $a$, которое было бы одновременно меньше 0 и больше $\frac{1}{8}$.

Ответ: таких значений $a$ не существует.