Номер 22.22, страница 188 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трехчлен - номер 22.22, страница 188.

Условие.

22.22. Квадратный трёхчлен $x^2 + ax + b$ имеет целые корни, большие, чем 2. Докажите, что число $a + b + 1$ — составное.

Решение.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — целые корни квадратного трёхчлена $x^2 + ax + b$. По условию задачи, эти корни больше 2, то есть $x_1 > 2$ и $x_2 > 2$.

Согласно теореме Виета для приведённого квадратного уравнения $x^2 + ax + b = 0$, сумма и произведение корней связаны с коэффициентами $a$ и $b$ следующими соотношениями:
$x_1 + x_2 = -a$
$x_1 \cdot x_2 = b$

Выразим число $a + b + 1$ через корни $x_1$ и $x_2$, подставив $a = -(x_1 + x_2)$ и $b = x_1 x_2$:
$a + b + 1 = -(x_1 + x_2) + x_1 x_2 + 1$

Упростим и разложим полученное выражение на множители:
$a + b + 1 = x_1 x_2 - x_1 - x_2 + 1 = x_1(x_2 - 1) - 1(x_2 - 1) = (x_1 - 1)(x_2 - 1)$

Мы представили число $a + b + 1$ в виде произведения двух целых чисел: $(x_1 - 1)$ и $(x_2 - 1)$.
Поскольку по условию $x_1$ и $x_2$ — это целые числа, большие 2, то они не могут быть меньше 3. То есть, $x_1 \ge 3$ и $x_2 \ge 3$.
Тогда для множителей $(x_1 - 1)$ и $(x_2 - 1)$ справедливы следующие оценки:
$x_1 - 1 \ge 3 - 1 = 2$
$x_2 - 1 \ge 3 - 1 = 2$

Таким образом, число $a + b + 1$ является произведением двух целых чисел, каждое из которых больше 1. По определению, такое число является составным.
Ответ: Доказано, что число $a + b + 1$ является составным.