Номер 22.18, страница 188 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трехчлен - номер 22.18, страница 188.

Условие.

22.18. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых $(x; y)$ удовлетворяют равенству:

1) $8x^2 - 6xy + y^2 = 0;$

2) $4x^2 - 4xy - 3y^2 - 2x + 7y - 2 = 0.$

Решение.

1)

Рассмотрим данное уравнение $8x^2 - 6xy + y^2 = 0$. Это однородное уравнение второй степени. Мы можем рассматривать его как квадратное уравнение относительно переменной $y$.

Перепишем уравнение в стандартном виде для квадратного уравнения относительно $y$ (расположив члены по убыванию степеней $y$):
$y^2 - 6xy + 8x^2 = 0$

Левую часть этого уравнения можно разложить на множители. Для этого найдем два одночлена, произведение которых равно $8x^2$, а сумма равна $-6x$. Этими одночленами являются $-2x$ и $-4x$.

Таким образом, уравнение можно записать в виде:
$(y - 2x)(y - 4x) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем совокупность двух уравнений:
$y - 2x = 0$ или $y - 4x = 0$.

Каждое из этих уравнений задает прямую на координатной плоскости:
$y = 2x$ и $y = 4x$.

Следовательно, множество точек, координаты которых удовлетворяют исходному равенству, представляет собой объединение двух прямых, проходящих через начало координат $(0, 0)$.

Ответ: Множество точек является объединением двух прямых, заданных уравнениями $y = 2x$ и $y = 4x$. Графиком являются две прямые, пересекающиеся в начале координат.

2)

Рассмотрим уравнение $4x^2 - 4xy - 3y^2 - 2x + 7y - 2 = 0$. Это уравнение второй степени. Если его левую часть можно разложить на произведение двух линейных множителей, то графиком будет пара пересекающихся прямых.

Сначала разложим на множители квадратичную часть $4x^2 - 4xy - 3y^2$. Решая $4x^2 - (4y)x - 3y^2 = 0$ как квадратное уравнение относительно $x$, или методом подбора, находим множители:
$4x^2 - 4xy - 3y^2 = (2x - 3y)(2x + y)$.

Теперь предположим, что всё выражение можно разложить на множители вида $(2x - 3y + c_1)(2x + y + c_2)$, где $c_1$ и $c_2$ — некоторые константы. Раскроем скобки:
$(2x - 3y + c_1)(2x + y + c_2) = (2x - 3y)(2x + y) + c_2(2x - 3y) + c_1(2x + y) + c_1c_2$
$= 4x^2 - 4xy - 3y^2 + 2c_2x - 3c_2y + 2c_1x + c_1y + c_1c_2$
$= 4x^2 - 4xy - 3y^2 + (2c_1 + 2c_2)x + (c_1 - 3c_2)y + c_1c_2$.

Сравним коэффициенты полученного выражения с коэффициентами исходного уравнения $4x^2 - 4xy - 3y^2 - 2x + 7y - 2 = 0$. Приравнивая соответствующие коэффициенты, получаем систему уравнений для $c_1$ и $c_2$:

$\begin{cases} 2c_1 + 2c_2 = -2 \\ c_1 - 3c_2 = 7 \\ c_1c_2 = -2 \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $c_1 + c_2 = -1$, откуда $c_1 = -1 - c_2$. Подставим это выражение во второе уравнение:
$(-1 - c_2) - 3c_2 = 7$
$-1 - 4c_2 = 7$
$-4c_2 = 8$
$c_2 = -2$.

Теперь найдем $c_1$:
$c_1 = -1 - c_2 = -1 - (-2) = 1$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные значения $c_1=1$ и $c_2=-2$ третьему уравнению системы: $c_1c_2 = (1)(-2) = -2$. Условие выполняется.

Таким образом, исходное уравнение можно представить в виде произведения двух линейных множителей:
$(2x - 3y + 1)(2x + y - 2) = 0$.

Это равенство истинно, если один из множителей равен нулю:
$2x - 3y + 1 = 0$ или $2x + y - 2 = 0$.

Каждое из этих уравнений задает прямую. Выразим $y$ для каждого случая:
1) $3y = 2x + 1 \implies y = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}$
2) $y = -2x + 2$.

Следовательно, искомое множество точек — это объединение двух пересекающихся прямых.

Ответ: Множество точек является объединением двух прямых, заданных уравнениями $y = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}$ и $y = -2x + 2$. Графиком являются две пересекающиеся прямые.