Номер 22.18, страница 188 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трехчлен - номер 22.18, страница 188.
№22.18 (с. 188)
Условие. №22.18 (с. 188)
скриншот условия
 
                                22.18. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых $(x; y)$ удовлетворяют равенству:
1) $8x^2 - 6xy + y^2 = 0;$
2) $4x^2 - 4xy - 3y^2 - 2x + 7y - 2 = 0.$
Решение. №22.18 (с. 188)
1)
Рассмотрим данное уравнение $8x^2 - 6xy + y^2 = 0$. Это однородное уравнение второй степени. Мы можем рассматривать его как квадратное уравнение относительно переменной $y$.
Перепишем уравнение в стандартном виде для квадратного уравнения относительно $y$ (расположив члены по убыванию степеней $y$):
$y^2 - 6xy + 8x^2 = 0$
Левую часть этого уравнения можно разложить на множители. Для этого найдем два одночлена, произведение которых равно $8x^2$, а сумма равна $-6x$. Этими одночленами являются $-2x$ и $-4x$.
Таким образом, уравнение можно записать в виде:
$(y - 2x)(y - 4x) = 0$
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем совокупность двух уравнений:
$y - 2x = 0$ или $y - 4x = 0$.
Каждое из этих уравнений задает прямую на координатной плоскости:
$y = 2x$ и $y = 4x$.
Следовательно, множество точек, координаты которых удовлетворяют исходному равенству, представляет собой объединение двух прямых, проходящих через начало координат $(0, 0)$.
Ответ: Множество точек является объединением двух прямых, заданных уравнениями $y = 2x$ и $y = 4x$. Графиком являются две прямые, пересекающиеся в начале координат.
2)
Рассмотрим уравнение $4x^2 - 4xy - 3y^2 - 2x + 7y - 2 = 0$. Это уравнение второй степени. Если его левую часть можно разложить на произведение двух линейных множителей, то графиком будет пара пересекающихся прямых.
Сначала разложим на множители квадратичную часть $4x^2 - 4xy - 3y^2$. Решая $4x^2 - (4y)x - 3y^2 = 0$ как квадратное уравнение относительно $x$, или методом подбора, находим множители:
$4x^2 - 4xy - 3y^2 = (2x - 3y)(2x + y)$.
Теперь предположим, что всё выражение можно разложить на множители вида $(2x - 3y + c_1)(2x + y + c_2)$, где $c_1$ и $c_2$ — некоторые константы. Раскроем скобки:
$(2x - 3y + c_1)(2x + y + c_2) = (2x - 3y)(2x + y) + c_2(2x - 3y) + c_1(2x + y) + c_1c_2$
$= 4x^2 - 4xy - 3y^2 + 2c_2x - 3c_2y + 2c_1x + c_1y + c_1c_2$
$= 4x^2 - 4xy - 3y^2 + (2c_1 + 2c_2)x + (c_1 - 3c_2)y + c_1c_2$.
Сравним коэффициенты полученного выражения с коэффициентами исходного уравнения $4x^2 - 4xy - 3y^2 - 2x + 7y - 2 = 0$. Приравнивая соответствующие коэффициенты, получаем систему уравнений для $c_1$ и $c_2$:
$\begin{cases} 2c_1 + 2c_2 = -2 \\ c_1 - 3c_2 = 7 \\ c_1c_2 = -2 \end{cases}$
Из первого уравнения получаем $c_1 + c_2 = -1$, откуда $c_1 = -1 - c_2$. Подставим это выражение во второе уравнение:
$(-1 - c_2) - 3c_2 = 7$
$-1 - 4c_2 = 7$
$-4c_2 = 8$
$c_2 = -2$.
Теперь найдем $c_1$:
$c_1 = -1 - c_2 = -1 - (-2) = 1$.
Проверим, удовлетворяют ли найденные значения $c_1=1$ и $c_2=-2$ третьему уравнению системы: $c_1c_2 = (1)(-2) = -2$. Условие выполняется.
Таким образом, исходное уравнение можно представить в виде произведения двух линейных множителей:
$(2x - 3y + 1)(2x + y - 2) = 0$.
Это равенство истинно, если один из множителей равен нулю:
$2x - 3y + 1 = 0$ или $2x + y - 2 = 0$.
Каждое из этих уравнений задает прямую. Выразим $y$ для каждого случая:
1) $3y = 2x + 1 \implies y = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}$
2) $y = -2x + 2$.
Следовательно, искомое множество точек — это объединение двух пересекающихся прямых.
Ответ: Множество точек является объединением двух прямых, заданных уравнениями $y = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}$ и $y = -2x + 2$. Графиком являются две пересекающиеся прямые.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 22.18 расположенного на странице 188 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №22.18 (с. 188), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    