Номер 22.11, страница 187 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трехчлен - номер 22.11, страница 187.

Условие.

22.11. Докажите, что при всех допустимых значениях $a$ значение выражения не зависит от значения переменной:

1) $\frac{25a^2-36}{10a^2-9a+2} : \left( \frac{5a+6}{5a-2} + \frac{9a-8}{1-2a} \right)$

2) $\left( \frac{2a}{a+3} + \frac{1}{a-1} - \frac{4}{a^2+2a-3} \right) : \frac{2a+1}{a+3}$

Решение.

1) Для доказательства упростим данное выражение, выполняя действия по порядку. Сначала выполним деление, а затем сложение.

Исходное выражение: $ \frac{25a^2 - 36}{10a^2 - 9a + 2} : \frac{5a+6}{5a-2} + \frac{9a-8}{1-2a} $.

Сначала разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби.

Числитель $25a^2 - 36$ — это разность квадратов: $25a^2 - 36 = (5a)^2 - 6^2 = (5a - 6)(5a + 6)$.

Для разложения знаменателя $10a^2 - 9a + 2$ найдем корни соответствующего квадратного уравнения $10a^2 - 9a + 2 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 2 = 81 - 80 = 1$.

Корни уравнения: $a_1 = \frac{9 + \sqrt{1}}{2 \cdot 10} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$, $a_2 = \frac{9 - \sqrt{1}}{2 \cdot 10} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$.

Тогда $10a^2 - 9a + 2 = 10(a - \frac{1}{2})(a - \frac{2}{5}) = 2(a - \frac{1}{2}) \cdot 5(a - \frac{2}{5}) = (2a - 1)(5a - 2)$.

Теперь выполним деление:

$ \frac{(5a - 6)(5a + 6)}{(2a - 1)(5a - 2)} : \frac{5a+6}{5a-2} = \frac{(5a - 6)(5a + 6)}{(2a - 1)(5a - 2)} \cdot \frac{5a-2}{5a+6} $

Сокращаем общие множители $(5a+6)$ и $(5a-2)$:

$ \frac{(5a - 6)\cancel{(5a + 6)}}{(2a - 1)\cancel{(5a - 2)}} \cdot \frac{\cancel{5a-2}}{\cancel{5a+6}} = \frac{5a-6}{2a-1} $.

Далее выполним сложение с последней дробью:

$ \frac{5a-6}{2a-1} + \frac{9a-8}{1-2a} $.

Так как $1 - 2a = -(2a - 1)$, приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{5a-6}{2a-1} - \frac{9a-8}{2a-1} = \frac{(5a-6) - (9a-8)}{2a-1} = \frac{5a - 6 - 9a + 8}{2a-1} = \frac{-4a+2}{2a-1} $.

Вынесем в числителе общий множитель $-2$ за скобки:

$ \frac{-2(2a-1)}{2a-1} $.

Сократим дробь на $(2a-1)$ и получим:

$ -2 $.

Результат упрощения выражения — число $-2$. Так как это константа, значение выражения не зависит от переменной $a$ при всех допустимых ее значениях.

Ответ: -2.

2) Упростим данное выражение. Сначала выполним действия в скобках, приведя дроби к общему знаменателю, а затем выполним деление.

Исходное выражение: $ \left(\frac{2a}{a+3} + \frac{1}{a-1} - \frac{4}{a^2+2a-3}\right) : \frac{2a+1}{a+3} $.

Разложим знаменатель $a^2+2a-3$ на множители. Корнями уравнения $a^2+2a-3=0$ являются $a_1=1$ и $a_2=-3$, поэтому $a^2+2a-3 = (a-1)(a+3)$.

Перепишем выражение в скобках:

$ \frac{2a}{a+3} + \frac{1}{a-1} - \frac{4}{(a-1)(a+3)} $.

Общий знаменатель для дробей в скобках — $(a-1)(a+3)$. Приведем дроби к этому знаменателю:

$ \frac{2a(a-1)}{(a+3)(a-1)} + \frac{1(a+3)}{(a-1)(a+3)} - \frac{4}{(a-1)(a+3)} $.

Сложим и вычтем числители:

$ \frac{2a(a-1) + (a+3) - 4}{(a-1)(a+3)} = \frac{2a^2 - 2a + a + 3 - 4}{(a-1)(a+3)} = \frac{2a^2 - a - 1}{(a-1)(a+3)} $.

Разложим числитель $2a^2 - a - 1$ на множители. Найдем корни уравнения $2a^2 - a - 1 = 0$.

Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Корни: $a_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{4} = \frac{4}{4} = 1$, $a_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Тогда $2a^2 - a - 1 = 2(a-1)(a-(-\frac{1}{2})) = (a-1)(2a+1)$.

Подставим разложенный числитель обратно в дробь:

$ \frac{(a-1)(2a+1)}{(a-1)(a+3)} $.

Сократим общий множитель $(a-1)$:

$ \frac{2a+1}{a+3} $.

Теперь выполним деление:

$ \frac{2a+1}{a+3} : \frac{2a+1}{a+3} = 1 $.

Результат упрощения выражения — число $1$. Так как это константа, значение выражения не зависит от переменной $a$ при всех допустимых ее значениях.

Ответ: 1.