Номер 22.6, страница 186 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трехчлен - номер 22.6, страница 186.

Условие.

22.6. Решите неравенство:

1) $7x^2 - 9x + 3 \ge 0$;

2) $-5y^2 + 11y - 11 < 0$;

3) $(2x + 3)(3x^2 - 8x + 6) \ge 0$;

4) $|x + 1|(4x^2 - 5x + 2) \le 0$.

Решение.

1) Рассмотрим неравенство $7x^2 - 9x + 3 \geq 0$.
Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $7x^2 - 9x + 3 = 0$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 3 = 81 - 84 = -3$.
Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Графиком функции $y = 7x^2 - 9x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку старший коэффициент $a = 7 > 0$.
Поскольку парабола не пересекает ось абсцисс и ее ветви направлены вверх, она полностью расположена выше оси абсцисс. Это означает, что выражение $7x^2 - 9x + 3$ принимает положительные значения при любом значении $x$.
Следовательно, неравенство $7x^2 - 9x + 3 \geq 0$ выполняется для всех действительных чисел.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2) Рассмотрим неравенство $-5y^2 + 11y - 11 < 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $-5y^2 + 11y - 11 = 0$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot (-5) \cdot (-11) = 121 - 220 = -99$.
Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Графиком функции $f(y) = -5y^2 + 11y - 11$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как старший коэффициент $a = -5 < 0$.
Поскольку парабола не пересекает ось абсцисс и ее ветви направлены вниз, она полностью расположена ниже оси абсцисс. Это означает, что выражение $-5y^2 + 11y - 11$ принимает отрицательные значения при любом значении $y$.
Следовательно, неравенство $-5y^2 + 11y - 11 < 0$ выполняется для всех действительных чисел.
Ответ: $y \in (-\infty; +\infty)$.

3) Рассмотрим неравенство $(2x + 3)(3x^2 - 8x + 6) \geq 0$.
Это неравенство представляет собой произведение двух множителей. Проанализируем знак каждого из них.
Первый множитель: $2x + 3$. Он равен нулю при $x = -1.5$.
Второй множитель: $3x^2 - 8x + 6$. Это квадратичный трехчлен. Найдем его корни из уравнения $3x^2 - 8x + 6 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 64 - 72 = -8$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a = 3 > 0$, квадратичный трехчлен $3x^2 - 8x + 6$ всегда положителен при любом значении $x$.
Поскольку второй множитель всегда положителен, знак всего произведения зависит только от знака первого множителя. Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству:
$2x + 3 \geq 0$
$2x \geq -3$
$x \geq -1.5$
Ответ: $x \in [-1.5; +\infty)$.

4) Рассмотрим неравенство $|x + 1|(4x^2 - 5x + 2) \leq 0$.
Проанализируем знаки множителей.
Первый множитель: $|x + 1|$. По определению модуля, $|x + 1| \geq 0$ для любого действительного $x$.
Второй множитель: $4x^2 - 5x + 2$. Найдем корни уравнения $4x^2 - 5x + 2 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 25 - 32 = -7$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a = 4 > 0$, выражение $4x^2 - 5x + 2$ всегда положительно.
Таким образом, мы имеем произведение неотрицательного числа $(|x + 1|)$ и положительного числа $(4x^2 - 5x + 2)$. Их произведение будет меньше или равно нулю только в том случае, если неотрицательный множитель равен нулю.
$|x + 1| \leq 0$
Так как $|x+1|$ не может быть отрицательным, остается единственная возможность:
$|x + 1| = 0$
$x + 1 = 0$
$x = -1$
Это единственное решение неравенства.
Ответ: $\{-1\}$.