Номер 21.44, страница 181 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.44, страница 181.

Условие.

21.44. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = x + 2$. Начертите графики данных функций и отметьте найденные точки.

Решение.

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = x + 2$

Для нахождения координат точек пересечения графиков необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнений данных функций, так как в точках пересечения их координаты $x$ и $y$ совпадают.

$\begin{cases} y = x^2 \\ y = x + 2\end{cases}$

Приравняем правые части уравнений:

$x^2 = x + 2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-1$, $c=-2$.

Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формулам:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня, подставив их в любое из исходных уравнений. Удобнее использовать линейное уравнение $y = x + 2$.

Для $x_1 = 2$:

$y_1 = 2 + 2 = 4$

Следовательно, первая точка пересечения имеет координаты $(2, 4)$.

Для $x_2 = -1$:

$y_2 = -1 + 2 = 1$

Следовательно, вторая точка пересечения имеет координаты $(-1, 1)$.

Ответ: Координаты точек пересечения: $(-1, 1)$ и $(2, 4)$.

Начертите графики данных функций и отметьте найденные точки

1. График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

2. График функции $y = x + 2$ — это прямая. Для ее построения достаточно двух точек, например, точек пересечения с осями координат: $(0, 2)$ и $(-2, 0)$.

Построим графики в одной системе координат и отметим найденные точки пересечения.

Ответ: Графики построены, найденные точки пересечения $(-1, 1)$ и $(2, 4)$ отмечены.