Номер 21.37, страница 180 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.37, страница 180.

Условие.

21.37. При каких значениях параметра $a$ корни уравнения $x^2 - 5x + a = 0$
на 1 меньше корней уравнения $x^2 - 7x + 3a - 6 = 0$?

Решение.

Пусть даны два уравнения:

1) $x^2 - 5x + a = 0$

2) $x^2 - 7x + 3a - 6 = 0$

Пусть $y$ — любой корень второго уравнения. Согласно условию задачи, корни первого уравнения на 1 меньше корней второго. Это означает, что число $x = y - 1$ является корнем первого уравнения.

Из соотношения $x = y - 1$ выразим $y$ через $x$: $y = x + 1$.

Поскольку $y$ является корнем второго уравнения, оно удовлетворяет этому уравнению. Подставим выражение $y = x + 1$ во второе уравнение:

$(x+1)^2 - 7(x+1) + 3a - 6 = 0$

Теперь раскроем скобки и приведём подобные слагаемые, чтобы получить уравнение относительно $x$:

$x^2 + 2x + 1 - 7x - 7 + 3a - 6 = 0$

$x^2 - 5x + (3a - 12) = 0$

Мы получили квадратное уравнение, корнями которого являются корни первого уравнения. Следовательно, это уравнение должно быть идентично первому уравнению $x^2 - 5x + a = 0$.

Сравнивая два уравнения:

$x^2 - 5x + (3a - 12) = 0$

$x^2 - 5x + a = 0$

Мы видим, что коэффициенты при $x^2$ и $x$ у них совпадают. Для полной идентичности уравнений необходимо, чтобы их свободные члены также были равны.

$3a - 12 = a$

Решим это линейное уравнение относительно $a$:

$3a - a = 12$

$2a = 12$

$a = 6$

Теперь необходимо проверить, что при найденном значении $a=6$ оба исходных уравнения имеют действительные корни. Для этого их дискриминанты ($D = b^2 - 4ac$) должны быть неотрицательными.

Проверка для первого уравнения $x^2 - 5x + a = 0$ при $a=6$:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

$D_1 = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$

Так как $D_1 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Проверка для второго уравнения $x^2 - 7x + 3a - 6 = 0$ при $a=6$:

$x^2 - 7x + 3 \cdot 6 - 6 = 0$

$x^2 - 7x + 18 - 6 = 0$

$x^2 - 7x + 12 = 0$

$D_2 = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$

Так как $D_2 > 0$, это уравнение также имеет два различных действительных корня.

Оба условия выполнены, следовательно, найденное значение $a$ является решением задачи.

Ответ: $a = 6$.