Номер 21.33, страница 180 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.33, страница 180.

Условие.

21.33. Корни уравнения $x^2 + bx + c = 0$ равны его коэффициентам $b$ и $c$.

Найдите $b$ и $c$.

Решение.

Пусть дано квадратное уравнение $x^2 + bx + c = 0$. По условию задачи, его корни равны его коэффициентам. Обозначим корни уравнения как $x_1$ и $x_2$. Тогда множество корней $\{x_1, x_2\}$ совпадает с множеством коэффициентов $\{b, c\}$.

Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ по теореме Виета справедливы следующие соотношения:
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = q$

Применительно к нашему уравнению $x^2 + bx + c = 0$, где $p=b$ и $q=c$, а корнями являются сами числа $b$ и $c$ (например, $x_1=b$ и $x_2=c$), мы можем составить систему уравнений:
$b + c = -b$ (1)
$b \cdot c = c$ (2)

Решим эту систему. Начнем со второго уравнения:
$bc = c$
$bc - c = 0$
$c(b - 1) = 0$

Это уравнение выполняется в двух случаях: либо $c = 0$, либо $b - 1 = 0$. Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: $c = 0$.
Подставим значение $c=0$ в первое уравнение системы (1):
$b + 0 = -b$
$2b = 0$
$b = 0$
Таким образом, мы получили первую пару значений: $b = 0, c = 0$.
Проверка: Уравнение $x^2 + 0x + 0 = 0$ или $x^2=0$ имеет корни $x_1=0$ и $x_2=0$. Набор корней $\{0, 0\}$ совпадает с набором коэффициентов $\{b,c\}=\{0,0\}$.

Случай 2: $b - 1 = 0$, что означает $b = 1$.
Подставим значение $b=1$ в первое уравнение системы (1):
$1 + c = -1$
$c = -1 - 1$
$c = -2$
Таким образом, мы получили вторую пару значений: $b = 1, c = -2$.
Проверка: Уравнение $x^2 + 1x - 2 = 0$ или $x^2+x-2=0$. Его корни можно найти, например, разложив на множители: $(x+2)(x-1)=0$. Корни равны $x_1=-2$ и $x_2=1$. Набор корней $\{-2, 1\}$ совпадает с набором коэффициентов $\{b,c\}=\{1,-2\}$.

Итак, задача имеет два возможных решения.

Ответ: $b = 0, c = 0$ или $b = 1, c = -2$.