Номер 21.26, страница 180 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.26, страница 180.

Условие.

21.26. Составьте квадратное уравнение, корни которого в 3 раза меньше соответствующих корней уравнения $2x^2 - 14x + 9 = 0$.

Решение.

21.26.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного уравнения $2x^2 - 14x + 9 = 0$. Искомое квадратное уравнение имеет корни $y_1$ и $y_2$, которые по условию в 3 раза меньше корней исходного уравнения: $y_1 = \frac{x_1}{3}$ и $y_2 = \frac{x_2}{3}$.

Для составления нового уравнения можно использовать два способа.

Способ 1. С помощью теоремы Виета

Сначала по теореме Виета найдем сумму и произведение корней исходного уравнения $2x^2 - 14x + 9 = 0$:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(\frac{-14}{2}) = 7$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{9}{2}$.

Теперь вычислим сумму и произведение корней нового уравнения:

Сумма новых корней: $y_1 + y_2 = \frac{x_1}{3} + \frac{x_2}{3} = \frac{x_1 + x_2}{3} = \frac{7}{3}$.

Произведение новых корней: $y_1 \cdot y_2 = \frac{x_1}{3} \cdot \frac{x_2}{3} = \frac{x_1 \cdot x_2}{9} = \frac{9/2}{9} = \frac{1}{2}$.

Используя обратную теорему Виета, искомое уравнение можно записать в виде $y^2 - (y_1 + y_2)y + y_1y_2 = 0$. Подставим найденные значения:

$y^2 - \frac{7}{3}y + \frac{1}{2} = 0$.

Чтобы получить уравнение с целыми коэффициентами, умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей (3 и 2), то есть на 6:

$6(y^2 - \frac{7}{3}y + \frac{1}{2}) = 6 \cdot 0$

$6y^2 - 14y + 3 = 0$.

Способ 2. С помощью замены переменной

Пусть $y$ — это корень нового уравнения. Тогда $y = \frac{x}{3}$, где $x$ — корень исходного уравнения. Отсюда $x = 3y$.

Подставим выражение для $x$ в исходное уравнение $2x^2 - 14x + 9 = 0$:

$2(3y)^2 - 14(3y) + 9 = 0$

Выполним преобразования:

$2(9y^2) - 42y + 9 = 0$

$18y^2 - 42y + 9 = 0$

Это уравнение является искомым. Можно упростить его, разделив все коэффициенты на их наибольший общий делитель, равный 3:

$\frac{18y^2}{3} - \frac{42y}{3} + \frac{9}{3} = \frac{0}{3}$

$6y^2 - 14y + 3 = 0$

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Заменив переменную $y$ на $x$ (это стандартное обозначение), получим окончательный вид уравнения.

Ответ: $6x^2 - 14x + 3 = 0$.