Номер 21.20, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.20, страница 179.

Условие.

21.20. Корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 - 7x + m = 0$ удовлетворяют условию $2x_1 - 5x_2 = 28$. Найдите корни уравнения и значение параметра $m$.

Решение.

Для квадратного уравнения $x^2 - 7x + m = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ по теореме Виета справедливы следующие соотношения:

1. Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-7) = 7$.

2. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = m$.

По условию задачи также дано уравнение, связывающее корни: $2x_1 - 5x_2 = 28$.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений для нахождения корней $x_1$ и $x_2$:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = 7 \\ 2x_1 - 5x_2 = 28 \end{cases}$

Выразим $x_1$ из первого уравнения: $x_1 = 7 - x_2$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2(7 - x_2) - 5x_2 = 28$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$14 - 2x_2 - 5x_2 = 28$

$14 - 7x_2 = 28$

$-7x_2 = 28 - 14$

$-7x_2 = 14$

$x_2 = \frac{14}{-7} = -2$

Теперь найдем $x_1$, подставив значение $x_2$ в выражение $x_1 = 7 - x_2$:

$x_1 = 7 - (-2) = 7 + 2 = 9$

Мы нашли корни уравнения: $x_1 = 9$ и $x_2 = -2$.

Осталось определить значение параметра $m$. Используем второе соотношение из теоремы Виета: $m = x_1 \cdot x_2$.

Подставим найденные значения корней:

$m = 9 \cdot (-2) = -18$

Таким образом, исходное уравнение имеет вид $x^2 - 7x - 18 = 0$, его корни $x_1=9$ и $x_2=-2$, и они удовлетворяют заданному условию $2 \cdot 9 - 5 \cdot (-2) = 18 + 10 = 28$.

Ответ: корни уравнения равны 9 и -2; значение параметра $m = -18$.