Номер 21.18, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.18, страница 179.

Условие.

21.18. Один из корней уравнения $x^2 - 10x + c = 0$ на 8 меньше другого.

Найдите значение параметра $c$ и корни уравнения.

Решение.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни заданного квадратного уравнения $x^2 - 10x + c = 0$.

Согласно условию задачи, один из корней на 8 меньше другого. Пусть $x_2 > x_1$, тогда можно записать соотношение:

$x_2 = x_1 + 8$

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = q$.

В нашем случае уравнение имеет вид $x^2 - 10x + c = 0$, где коэффициент при $x$ равен -10, а свободный член равен $c$.

Применим теорему Виета:

1) Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-10) = 10$

2) Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными ($x_1$ и $x_2$):

$\begin{cases} x_1 + x_2 = 10 \\ x_2 = x_1 + 8 \end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое, чтобы найти $x_1$:

$x_1 + (x_1 + 8) = 10$

$2x_1 + 8 = 10$

$2x_1 = 10 - 8$

$2x_1 = 2$

$x_1 = 1$

Теперь найдем второй корень $x_2$, используя соотношение $x_2 = x_1 + 8$:

$x_2 = 1 + 8 = 9$

Таким образом, корни уравнения равны 1 и 9.

Осталось найти значение параметра $c$. Из теоремы Виета мы знаем, что $c = x_1 \cdot x_2$.

$c = 1 \cdot 9 = 9$

Ответ: значение параметра $c = 9$, корни уравнения: 1 и 9.