Номер 21.16, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.16, страница 179.

Условие.

21.16. Применяя теорему, обратную теореме Виета, решите уравнение:

1) $x^2 - 4x - 5 = 0;$

2) $x^2 + 4x - 5 = 0;$

3) $2x^2 - 5x + 3 = 0;$

4) $x^2 - x - 2 = 0;$

5) $x^2 - 3x - 18 = 0;$

6) $16x^2 - 23x + 7 = 0.$

Решение.

Теорема, обратная теореме Виета, гласит: если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

1)

Для уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$ по теореме, обратной теореме Виета, ищем два числа $x_1$ и $x_2$, для которых выполняются условия:

$x_1 + x_2 = -(-4) = 4$

$x_1 \cdot x_2 = -5$

Методом подбора находим, что этими числами являются 5 и -1, так как $5 + (-1) = 4$ и $5 \cdot (-1) = -5$.

Ответ: $x_1 = 5, x_2 = -1$.

2)

Для уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$ по теореме, обратной теореме Виета, ищем два числа $x_1$ и $x_2$, для которых выполняются условия:

$x_1 + x_2 = -4$

$x_1 \cdot x_2 = -5$

Методом подбора находим, что этими числами являются -5 и 1, так как $-5 + 1 = -4$ и $-5 \cdot 1 = -5$.

Ответ: $x_1 = -5, x_2 = 1$.

3)

Уравнение $2x^2 - 5x + 3 = 0$ не является приведенным. Разделим обе части уравнения на 2, чтобы привести его к виду $x^2 + px + q = 0$:

$x^2 - \frac{5}{2}x + \frac{3}{2} = 0$

Теперь по теореме, обратной теореме Виета, ищем два числа $x_1$ и $x_2$, для которых:

$x_1 + x_2 = -(-\frac{5}{2}) = \frac{5}{2}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{3}{2}$

Подбором находим, что этими числами являются 1 и $\frac{3}{2}$, так как $1 + \frac{3}{2} = \frac{2}{2} + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$ и $1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = \frac{3}{2}$.

4)

Для уравнения $x^2 - x - 2 = 0$ по теореме, обратной теореме Виета, ищем два числа $x_1$ и $x_2$ такие, что:

$x_1 + x_2 = -(-1) = 1$

$x_1 \cdot x_2 = -2$

Подбором находим, что этими числами являются 2 и -1, так как $2 + (-1) = 1$ и $2 \cdot (-1) = -2$.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -1$.

5)

Для уравнения $x^2 - 3x - 18 = 0$ по теореме, обратной теореме Виета, ищем два числа $x_1$ и $x_2$ такие, что:

$x_1 + x_2 = -(-3) = 3$

$x_1 \cdot x_2 = -18$

Подбором находим, что этими числами являются 6 и -3, так как $6 + (-3) = 3$ и $6 \cdot (-3) = -18$.

Ответ: $x_1 = 6, x_2 = -3$.

6)

Уравнение $16x^2 - 23x + 7 = 0$ не является приведенным. Разделим обе части уравнения на 16:

$x^2 - \frac{23}{16}x + \frac{7}{16} = 0$

По теореме, обратной теореме Виета, ищем два числа $x_1$ и $x_2$, для которых:

$x_1 + x_2 = -(-\frac{23}{16}) = \frac{23}{16}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{7}{16}$

Подбором находим, что этими числами являются 1 и $\frac{7}{16}$, так как $1 + \frac{7}{16} = \frac{16}{16} + \frac{7}{16} = \frac{23}{16}$ и $1 \cdot \frac{7}{16} = \frac{7}{16}$.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = \frac{7}{16}$.