Номер 21.10, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.10, страница 178.

Условие.

21.10. Число $\frac{1}{3}$ является корнем уравнения $6x^2 - bx + 4 = 0$. Найдите значение $b$ и второй корень уравнения.

Решение.

Задача состоит из двух частей: найти значение коэффициента $b$ и найти второй корень уравнения.

Нахождение значения b

По условию, число $\frac{1}{3}$ является корнем уравнения $6x^2 - bx + 4 = 0$. Это означает, что если подставить $x = \frac{1}{3}$ в уравнение, мы получим верное числовое равенство. Выполним подстановку:

$6 \cdot (\frac{1}{3})^2 - b \cdot (\frac{1}{3}) + 4 = 0$

Теперь решим полученное уравнение относительно $b$:

$6 \cdot \frac{1}{9} - \frac{b}{3} + 4 = 0$

Сократим дробь $\frac{6}{9}$ на 3:

$\frac{2}{3} - \frac{b}{3} + 4 = 0$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим все члены уравнения на 3:

$3 \cdot \frac{2}{3} - 3 \cdot \frac{b}{3} + 3 \cdot 4 = 3 \cdot 0$

$2 - b + 12 = 0$

$14 - b = 0$

$b = 14$

Нахождение второго корня уравнения

Теперь, когда мы нашли значение $b = 14$, исходное уравнение можно записать в виде:

$6x^2 - 14x + 4 = 0$

Для нахождения второго корня ($x_2$) воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + kx + c = 0$, произведение корней $x_1$ и $x_2$ равно $\frac{c}{a}$.

В нашем уравнении коэффициенты равны $a=6$, $c=4$. Один из корней нам известен: $x_1 = \frac{1}{3}$.

Подставим известные значения в формулу произведения корней:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

$\frac{1}{3} \cdot x_2 = \frac{4}{6}$

Упростим дробь в правой части:

$\frac{1}{3} \cdot x_2 = \frac{2}{3}$

Чтобы найти $x_2$, разделим обе части уравнения на $\frac{1}{3}$ (или умножим на 3):

$x_2 = \frac{2}{3} \div \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2$

Таким образом, второй корень уравнения равен 2.

Ответ: $b = 14$, второй корень равен 2.