Номер 21.7, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.7, страница 178.

Условие.

21.7. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны:

1) -7 и -8;

2) 5 и -0,4;

3) $\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{3}$;

4) $5-\sqrt{10}$ и $5+\sqrt{10}$.

Решение.

Чтобы составить квадратное уравнение с заданными корнями $x_1$ и $x_2$, можно воспользоваться формулой, которая следует из теоремы Виета: $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$. Эта формула дает приведенное квадратное уравнение. Если коэффициенты получаются нецелыми, то уравнение нужно умножить на такое число, чтобы все коэффициенты стали целыми.

1) Даны корни $x_1 = -7$ и $x_2 = -8$.
Найдем их сумму: $S = x_1 + x_2 = -7 + (-8) = -15$.
Найдем их произведение: $P = x_1 \cdot x_2 = (-7) \cdot (-8) = 56$.
Подставим найденные значения в формулу $x^2 - Sx + P = 0$:
$x^2 - (-15)x + 56 = 0$
$x^2 + 15x + 56 = 0$
Все коэффициенты (1, 15, 56) являются целыми числами.
Ответ: $x^2 + 15x + 56 = 0$.

2) Даны корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -0,4$.
Найдем их сумму: $S = x_1 + x_2 = 5 + (-0,4) = 4,6$.
Найдем их произведение: $P = x_1 \cdot x_2 = 5 \cdot (-0,4) = -2$.
Подставим найденные значения в формулу $x^2 - Sx + P = 0$:
$x^2 - 4,6x - 2 = 0$
Коэффициент при $x$ не является целым числом. Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим обе части уравнения на 5 (так как $4,6 = \frac{46}{10} = \frac{23}{5}$):
$5 \cdot (x^2 - 4,6x - 2) = 5 \cdot 0$
$5x^2 - 23x - 10 = 0$
Все коэффициенты (5, -23, -10) являются целыми числами.
Ответ: $5x^2 - 23x - 10 = 0$.

3) Даны корни $x_1 = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{2}{3}$.
Найдем их сумму: $S = x_1 + x_2 = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{7}{6}$.
Найдем их произведение: $P = x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Подставим найденные значения в формулу $x^2 - Sx + P = 0$:
$x^2 - \frac{7}{6}x + \frac{1}{3} = 0$
Коэффициенты не являются целыми. Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей $\frac{7}{6}$ и $\frac{1}{3}$, то есть на 6:
$6 \cdot (x^2 - \frac{7}{6}x + \frac{1}{3}) = 6 \cdot 0$
$6x^2 - 7x + 2 = 0$
Все коэффициенты (6, -7, 2) являются целыми числами.
Ответ: $6x^2 - 7x + 2 = 0$.

4) Даны корни $x_1 = 5 - \sqrt{10}$ и $x_2 = 5 + \sqrt{10}$.
Найдем их сумму: $S = x_1 + x_2 = (5 - \sqrt{10}) + (5 + \sqrt{10}) = 5 - \sqrt{10} + 5 + \sqrt{10} = 10$.
Найдем их произведение, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$P = x_1 \cdot x_2 = (5 - \sqrt{10})(5 + \sqrt{10}) = 5^2 - (\sqrt{10})^2 = 25 - 10 = 15$.
Подставим найденные значения в формулу $x^2 - Sx + P = 0$:
$x^2 - 10x + 15 = 0$
Все коэффициенты (1, -10, 15) являются целыми числами.
Ответ: $x^2 - 10x + 15 = 0$.