Номер 21.2, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.2, страница 178.

Условие.

21.2. Не решая уравнение, найдите сумму и произведение его корней:

1) $x^2 - 12x - 18 = 0$;

2) $x^2 + 2x - 9 = 0$;

3) $3x^2 + 7x + 2 = 0$;

4) $-4x^2 - 8x + 27 = 0$.

Решение.

Для нахождения суммы и произведения корней квадратного уравнения, не решая его, используется теорема Виета. Для квадратного уравнения общего вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x_1$ и $x_2$ — его корни, справедливы следующие формулы:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Применим эти формулы к каждому из данных уравнений.

1) $x^2 - 12x - 18 = 0$

В этом уравнении коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -12$, $c = -18$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-12}{1} = 12$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-18}{1} = -18$.

Ответ: сумма корней 12, произведение корней -18.

2) $x^2 + 2x - 9 = 0$

Коэффициенты: $a = 1$, $b = 2$, $c = -9$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{2}{1} = -2$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-9}{1} = -9$.

Ответ: сумма корней -2, произведение корней -9.

3) $3x^2 + 7x + 2 = 0$

Коэффициенты: $a = 3$, $b = 7$, $c = 2$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{7}{3}$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{3}$.

Ответ: сумма корней $-\frac{7}{3}$, произведение корней $\frac{2}{3}$.

4) $-4x^2 - 8x + 27 = 0$

Коэффициенты: $a = -4$, $b = -8$, $c = 27$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-8}{-4} = \frac{8}{-4} = -2$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{27}{-4} = -\frac{27}{4}$.

Ответ: сумма корней -2, произведение корней $-\frac{27}{4}$.