Номер 20.42, страница 174 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 20.42, страница 174.

Условие.

20.42. Для каждого значения параметра $a$ решите неравенство $ax + 2 > x$.

Решение.

Для решения неравенства $ax + 2 > x$ относительно переменной $x$ необходимо рассмотреть его как линейное неравенство с параметром $a$.

Сначала преобразуем неравенство, сгруппировав все члены, содержащие $x$, в левой части, а постоянные — в правой:

$ax - x > -2$

Вынесем $x$ за скобки, чтобы получить линейное неравенство в стандартном виде $kx > b$:

$(a - 1)x > -2$

Решение этого неравенства зависит от знака коэффициента $(a - 1)$ при переменной $x$. Необходимо рассмотреть три случая.

1. Случай, когда коэффициент при $x$ положителен: $a - 1 > 0$.

Это условие эквивалентно $a > 1$. В этом случае при делении обеих частей неравенства на положительное число $(a - 1)$ знак неравенства сохраняется:

$x > \frac{-2}{a - 1}$

Решением является открытый луч $(\frac{-2}{a - 1}; +\infty)$.

2. Случай, когда коэффициент при $x$ отрицателен: $a - 1 < 0$.

Это условие эквивалентно $a < 1$. В этом случае при делении обеих частей неравенства на отрицательное число $(a - 1)$ знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-2}{a - 1}$

Решением является открытый луч $(-\infty; \frac{-2}{a - 1})$.

3. Случай, когда коэффициент при $x$ равен нулю: $a - 1 = 0$.

Это условие эквивалентно $a = 1$. Подставим это значение в неравенство:

$0 \cdot x > -2$

$0 > -2$

Получилось верное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной $x$. Это означает, что при $a = 1$ исходное неравенство выполняется для любого действительного числа $x$. Решением является вся числовая прямая, то есть $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: если $a > 1$, то $x \in (\frac{-2}{a - 1}; +\infty)$; если $a < 1$, то $x \in (-\infty; \frac{-2}{a - 1})$; если $a = 1$, то $x \in (-\infty; +\infty)$.