Вопросы?, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - страница 178.

Условие.

1. Сформулируйте теорему Виета.

2. Сформулируйте следствие из теоремы Виета.

3. Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.

4. Сформулируйте следствие из теоремы, обратной теореме Виета.

Решение.

1. Сформулируйте теорему Виета.

Теорема Виета устанавливает связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Для полного квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, имеющего корни $x_1$ и $x_2$, выполняются следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

Ответ: Сумма корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ равна $-\frac{b}{a}$, а произведение корней равно $\frac{c}{a}$.

2. Сформулируйте следствие из теоремы Виета.

Следствие является частным случаем теоремы Виета для приведенного квадратного уравнения (уравнения, у которого старший коэффициент равен 1) вида $x^2 + px + q = 0$. Если $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения, то:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$.

Ответ: Сумма корней приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком ($-p$), а произведение корней равно свободному члену ($q$).

3. Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.

Теорема, обратная теореме Виета, позволяет по двум числам определить, являются ли они корнями некоторого приведенного квадратного уравнения. Формулировка такова: если существуют два числа $m$ и $n$, сумма которых равна $-p$, а произведение — $q$, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Ответ: Если числа $m$ и $n$ таковы, что их сумма $m+n = -p$, а их произведение $m \cdot n = q$, то эти числа являются корнями уравнения $x^2 + px + q = 0$.

4. Сформулируйте следствие из теоремы, обратной теореме Виета.

Это следствие является практическим применением обратной теоремы и используется для составления квадратного уравнения по его известным корням. Если числа $x_1$ и $x_2$ — это корни некоторого приведенного квадратного уравнения, то это уравнение можно представить в виде:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2 = 0$.

Здесь коэффициент $p$ равен $-(x_1 + x_2)$, а коэффициент $q$ равен $x_1 x_2$.

Ответ: Любые два числа $x_1$ и $x_2$ являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2 = 0$.