Номер 20.39, страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 20.39, страница 173.

Условие.

20.39. При каких значениях параметра $a$ уравнение $a(2a + 4)x^2 - (a + 2)x - 5a - 10 = 0$ имеет больше одного решения?

Решение.

Запишем данное уравнение: $a(2a + 4)x^2 - (a + 2)x - 5a - 10 = 0$. Вынесем общие множители в коэффициентах: $2a(a + 2)x^2 - (a + 2)x - 5(a + 2) = 0$. Теперь вынесем за скобки общий множитель $(a + 2)$: $(a + 2)(2ax^2 - x - 5) = 0$. Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений: $a + 2 = 0$ или $2ax^2 - x - 5 = 0$.

Рассмотрим первый случай: $a + 2 = 0$, то есть $a = -2$. При этом значении параметра исходное уравнение принимает вид $0 \cdot (2(-2)x^2 - x - 5) = 0$, или $0 = 0$. Это равенство верно для любого действительного числа $x$. Таким образом, при $a = -2$ уравнение имеет бесконечно много решений, что удовлетворяет условию "больше одного решения".

Рассмотрим второй случай, когда $a \neq -2$. В этом случае мы должны решить уравнение $2ax^2 - x - 5 = 0$. Условие "больше одного решения" для этого уравнения означает, что оно должно иметь два различных корня.

Сначала проверим, когда уравнение является линейным. Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю: $2a = 0$, то есть $a = 0$. При $a = 0$ уравнение принимает вид $-x - 5 = 0$. Оно имеет единственный корень $x = -5$. Этот случай не удовлетворяет условию.

Теперь рассмотрим, когда уравнение является квадратным, то есть $a \neq 0$ (и $a \neq -2$). Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, если его дискриминант $D$ строго положителен. Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot (2a) \cdot (-5) = 1 + 40a$. Решим неравенство $D > 0$: $1 + 40a > 0$ $40a > -1$ $a > -1/40$. Таким образом, при $a > -1/40$ (с учетом $a \neq 0$) уравнение имеет два различных корня. Это можно записать как $a \in (-1/40, 0) \cup (0, +\infty)$.

Объединяя результаты, полученные для всех случаев, получаем, что исходное уравнение имеет больше одного решения при $a = -2$ или при $a \in (-1/40, 0) \cup (0, +\infty)$.

Ответ: $a \in \{-2\} \cup (-1/40, 0) \cup (0, +\infty)$.