Номер 20.32, страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 20.32, страница 173.

Условие.

20.32. Решите уравнение:

1) $|x^2 + x - 3| = x;$

2) $|x^2 + x - 1| = 2x - 1;$

3) $|x - 2| = x^2 - 2x;$

4) $|2x + 1| = x^2 - x - 1.$

Решение.

1) $|x^2 + x - 3| = x$

Уравнение вида $|f(x)|=g(x)$ равносильно системе, в которой правая часть неотрицательна, а подмодульное выражение равно правой части или противоположно ей.

$\begin{cases} x \ge 0 \\ \left[ \begin{array}{l} x^2 + x - 3 = x \\ x^2 + x - 3 = -x \end{array} \right. \end{cases}$

Решим каждое уравнение из совокупности.

Первое уравнение:

$x^2 + x - 3 = x$

$x^2 - 3 = 0$

$x^2 = 3$

$x_1 = \sqrt{3}$, $x_2 = -\sqrt{3}$

Второе уравнение:

$x^2 + x - 3 = -x$

$x^2 + 2x - 3 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_3 = 1$, $x_4 = -3$.

Теперь проверим найденные корни на соответствие условию $x \ge 0$.

$x_1 = \sqrt{3}$ - удовлетворяет условию, так как $\sqrt{3} > 0$.

$x_2 = -\sqrt{3}$ - не удовлетворяет условию, так как $-\sqrt{3} < 0$.

$x_3 = 1$ - удовлетворяет условию, так как $1 > 0$.

$x_4 = -3$ - не удовлетворяет условию, так как $-3 < 0$.

Таким образом, решениями уравнения являются $1$ и $\sqrt{3}$.

Ответ: $1; \sqrt{3}$.

2) $|x^2 + x - 1| = 2x - 1$

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 2x - 1 \ge 0 \\ \left[ \begin{array}{l} x^2 + x - 1 = 2x - 1 \\ x^2 + x - 1 = -(2x - 1) \end{array} \right. \end{cases}$

Сначала решим неравенство $2x - 1 \ge 0$, чтобы найти область допустимых значений (ОДЗ):

$2x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{2}$

Теперь решим уравнения из совокупности.

Первое уравнение:

$x^2 + x - 1 = 2x - 1$

$x^2 - x = 0$

$x(x - 1) = 0$

$x_1 = 0$, $x_2 = 1$

Второе уравнение:

$x^2 + x - 1 = -2x + 1$

$x^2 + 3x - 2 = 0$

Решим через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-2) = 9 + 8 = 17$.

$x_{3,4} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge \frac{1}{2}$).

$x_1 = 0$ - не удовлетворяет условию, так как $0 < \frac{1}{2}$.

$x_2 = 1$ - удовлетворяет условию, так как $1 > \frac{1}{2}$.

$x_3 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2}$. Так как $4 < \sqrt{17} < 5$, то $1 < -3 + \sqrt{17} < 2$, и $\frac{1}{2} < \frac{-3 + \sqrt{17}}{2} < 1$. Корень удовлетворяет условию.

$x_4 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{2}$ - не удовлетворяет условию, так как является отрицательным числом.

Ответ: $1; \frac{-3 + \sqrt{17}}{2}$.

3) $|x - 2| = x^2 - 2x$

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 2x \ge 0 \\ \left[ \begin{array}{l} x - 2 = x^2 - 2x \\ x - 2 = -(x^2 - 2x) \end{array} \right. \end{cases}$

Найдем ОДЗ из неравенства $x^2 - 2x \ge 0 \implies x(x - 2) \ge 0$.

Методом интервалов получаем $x \in (-\infty; 0] \cup [2; +\infty)$.

Решим уравнения из совокупности.

Первое уравнение:

$x - 2 = x^2 - 2x$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

По теореме Виета: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Второе уравнение:

$x - 2 = -x^2 + 2x$

$x^2 - x - 2 = 0$

По теореме Виета: $x_3 = 2$, $x_4 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \le 0$ или $x \ge 2$).

$x_1 = 1$ - не удовлетворяет ОДЗ.

$x_2 = 2$ - удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 2$).

$x_4 = -1$ - удовлетворяет ОДЗ ($x \le 0$).

Корень $x=2$ является решением в обоих случаях.

Ответ: $-1; 2$.

4) $|2x + 1| = x^2 - x - 1$

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - x - 1 \ge 0 \\ \left[ \begin{array}{l} 2x + 1 = x^2 - x - 1 \\ 2x + 1 = -(x^2 - x - 1) \end{array} \right. \end{cases}$

Найдем ОДЗ, решив неравенство $x^2 - x - 1 \ge 0$. Сначала найдем корни уравнения $x^2 - x - 1 = 0$.

$D = (-1)^2 - 4(1)(-1) = 5$. Корни $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty; \frac{1 - \sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{1 + \sqrt{5}}{2}; +\infty)$.

Решим уравнения из совокупности.

Первое уравнение:

$2x + 1 = x^2 - x - 1$

$x^2 - 3x - 2 = 0$

$D = (-3)^2 - 4(1)(-2) = 9 + 8 = 17$.

$x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$

Второе уравнение:

$2x + 1 = -x^2 + x + 1$

$x^2 + x = 0$

$x(x + 1) = 0$

$x_3 = 0$, $x_4 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ.

$x_1 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$. Так как $\sqrt{17} > \sqrt{5}$ и $3 > 1$, то $\frac{3 + \sqrt{17}}{2} > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Корень удовлетворяет ОДЗ.

$x_2 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$. Так как $4 < \sqrt{17} < 5$, то $3-5 < 3 - \sqrt{17} < 3-4$, т.е. $-2 < 3 - \sqrt{17} < -1$. Тогда $-1 < \frac{3 - \sqrt{17}}{2} < -0.5$. А $\frac{1-\sqrt{5}}{2} \approx \frac{1-2.23}{2} \approx -0.615$. Так как $\frac{3 - \sqrt{17}}{2} > \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ и $\frac{3 - \sqrt{17}}{2} < \frac{1+\sqrt{5}}{2}$, этот корень не входит в ОДЗ.

$x_3 = 0$. Не удовлетворяет ОДЗ, так как $0$ находится между $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ и $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

$x_4 = -1$. Так как $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx -0.615$, то $-1 < -0.615$, следовательно, корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-1; \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$.