Номер 20.28, страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 20.28, страница 173.

Условие.

20.28. Докажите, что при любом значении параметра $p$ имеет два корня уравнение:

1) $4x^2 - px - 3 = 0;$

2) $x^2 + px + p - 2 = 0.$

Решение.

Для того чтобы доказать, что квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два различных корня при любом значении параметра, необходимо показать, что его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ всегда строго больше нуля ($D > 0$).

1) $4x^2 - px - 3 = 0$

Определим коэффициенты данного квадратного уравнения:

$a = 4$, $b = -p$, $c = -3$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-p)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = p^2 + 48$.

Выражение $p^2$ является квадратом действительного числа, поэтому $p^2 \ge 0$ для любого значения $p$. Следовательно, наименьшее значение, которое может принять дискриминант, равно $0 + 48 = 48$.

Так как $D = p^2 + 48 \ge 48$, то $D > 0$ при любом значении параметра $p$. Это означает, что уравнение всегда имеет два различных корня.

Ответ: Доказано.

2) $x^2 + px + p - 2 = 0$

Определим коэффициенты данного квадратного уравнения:

$a = 1$, $b = p$, $c = p - 2$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot (p - 2) = p^2 - 4p + 8$.

Чтобы определить знак дискриминанта, преобразуем полученное выражение, выделив полный квадрат:

$D = (p^2 - 4p + 4) + 4 = (p - 2)^2 + 4$.

Выражение $(p - 2)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому $(p - 2)^2 \ge 0$ для любого значения $p$. Следовательно, наименьшее значение, которое может принять дискриминант, равно $0 + 4 = 4$.

Так как $D = (p - 2)^2 + 4 \ge 4$, то $D > 0$ при любом значении параметра $p$. Это означает, что уравнение всегда имеет два различных корня.

Ответ: Доказано.