Номер 20.26, страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 20.26, страница 172.

Условие.

20.26. Решите уравнение:

1) $(\sqrt{x}-2)(x^2+2x-24)=0;$

2) $(x^2+2x)(\sqrt{x}-5)(3x^2-11x-4)=0.$

Решение.

1) $(\sqrt{x}-2)(x^2 + 2x - 24) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом имеют смысл. Из-за наличия $\sqrt{x}$ область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $x \ge 0$.

Уравнение распадается на два:

а) $\sqrt{x} - 2 = 0$

$\sqrt{x} = 2$

Возведем обе части в квадрат:

$x = 4$.

Корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 \ge 0$).

б) $x^2 + 2x - 24 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 = 10^2$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 10}{2} = \frac{-12}{2} = -6$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 10}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Проверим корни на принадлежность ОДЗ. Корень $x_1 = -6$ не удовлетворяет условию $x \ge 0$, поэтому является посторонним. Корень $x_2 = 4$ удовлетворяет ОДЗ.

Объединяя полученные решения, получаем единственный корень.

Ответ: 4

2) $(x^2 + 2x)(\sqrt{x}-5)(3x^2 - 11x - 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом имеют смысл. Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $x \ge 0$.

Уравнение распадается на совокупность трех уравнений:

а) $x^2 + 2x = 0$

$x(x+2) = 0$

$x_1 = 0$ или $x_2 = -2$.

Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет ОДЗ. Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет ОДЗ.

б) $\sqrt{x} - 5 = 0$

$\sqrt{x} = 5$

$x_3 = 25$.

Корень $x_3 = 25$ удовлетворяет ОДЗ.

в) $3x^2 - 11x - 4 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169 = 13^2$.

Найдем корни:

$x_4 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - 13}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

$x_5 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4$.

Корень $x_4 = -\frac{1}{3}$ не удовлетворяет ОДЗ. Корень $x_5 = 4$ удовлетворяет ОДЗ.

Объединяя все корни, удовлетворяющие ОДЗ, получаем окончательный ответ.

Ответ: 0; 4; 25