Номер 20.23, страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 20.23, страница 172.

Условие.

20.23. Решите уравнение:

1) $6x^2 + 5x - \frac{1}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1};$

2) $5x^2 - 14(\sqrt{x})^2 - 3 = 0;$

3) $x^2 - 4(\sqrt{x+2})^2 - 13 = 0;$

4) $x^2 + 2x + 3\frac{|x-1|}{x-1} = 0.$

Решение.

1) $6x^2 + 5x - \frac{1}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1}$

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием $x+1 \ne 0$, то есть $x \ne -1$.

Поскольку слагаемое $-\frac{1}{x+1}$ присутствует в обеих частях уравнения, мы можем его сократить:

$6x^2 + 5x = 1$

Перенесем 1 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$6x^2 + 5x - 1 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 - 7}{12} = \frac{-12}{12} = -1$

$x_2 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 + 7}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ne -1$). Корень $x_1 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ, следовательно, является посторонним. Корень $x_2 = \frac{1}{6}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{6}$

2) $5x^2 - 14(\sqrt{x})^2 - 3 = 0$

ОДЗ для данного уравнения: $x \ge 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным.

При $x \ge 0$ справедливо равенство $(\sqrt{x})^2 = x$. Подставим это в уравнение:

$5x^2 - 14x - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 196 + 60 = 256$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{14 - \sqrt{256}}{2 \cdot 5} = \frac{14 - 16}{10} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$

$x_2 = \frac{14 + \sqrt{256}}{2 \cdot 5} = \frac{14 + 16}{10} = \frac{30}{10} = 3$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$). Корень $x_1 = -\frac{1}{5}$ не удовлетворяет ОДЗ. Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $3$

3) $x^2 - 4(\sqrt{x+2})^2 - 13 = 0$

ОДЗ: $x+2 \ge 0$, что означает $x \ge -2$.

При $x \ge -2$ справедливо равенство $(\sqrt{x+2})^2 = x+2$. Заменим это выражение в уравнении:

$x^2 - 4(x+2) - 13 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 4x - 8 - 13 = 0$

$x^2 - 4x - 21 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $4$, а их произведение равно $-21$. Легко подобрать корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -3$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge -2$). Корень $x_1 = 7$ удовлетворяет условию ($7 \ge -2$). Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию ($-3 < -2$), поэтому является посторонним.

Ответ: $7$

4) $x^2 + 2x + 3\frac{|x-1|}{x-1} = 0$

ОДЗ: $x-1 \ne 0$, то есть $x \ne 1$.

Выражение $\frac{|x-1|}{x-1}$ равно $1$ при $x-1 > 0$ и $-1$ при $x-1 < 0$. Рассмотрим эти два случая.

Случай 1: $x-1 > 0 \implies x > 1$.

В этом случае $\frac{|x-1|}{x-1} = 1$, и уравнение принимает вид:

$x^2 + 2x + 3 \cdot 1 = 0$

$x^2 + 2x + 3 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$. Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Случай 2: $x-1 < 0 \implies x < 1$.

В этом случае $\frac{|x-1|}{x-1} = -1$, и уравнение принимает вид:

$x^2 + 2x + 3 \cdot (-1) = 0$

$x^2 + 2x - 3 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а произведение $-3$. Корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.

Проверим эти корни на соответствие условию случая ($x < 1$). Корень $x_1 = -3$ удовлетворяет условию ($-3 < 1$). Корень $x_2 = 1$ не удовлетворяет условию ($1 \not< 1$).

Единственным решением является корень, полученный во втором случае.

Ответ: $-3$