Номер 20.16, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 20.16, страница 171.

Условие.

20.16. В футбольном турнире было сыграно 36 матчей. Сколько команд участвовало в турнире, если каждая команда сыграла по одному разу с каждой из остальных команд?

Решение.

20.16.
Пусть $n$ — количество команд, участвовавших в турнире.
Согласно условию, каждая команда сыграла с каждой другой командой ровно один раз. Это означает, что общее количество сыгранных матчей равно количеству уникальных пар команд, которые можно составить из $n$ команд. В комбинаторике эта величина называется числом сочетаний из $n$ по 2 и вычисляется по формуле:
$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$
В задаче указано, что всего было сыграно 36 матчей. Следовательно, мы можем составить следующее уравнение:
$\frac{n(n-1)}{2} = 36$
Для решения уравнения умножим обе части на 2:
$n(n-1) = 72$
Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$n^2 - n = 72$
$n^2 - n - 72 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант вычисляется как $D = b^2 - 4ac$.
В нашем случае $a=1$, $b=-1$, $c=-72$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289$
Найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$n_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 17}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$n_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 17}{2} = \frac{-16}{2} = -8$
По смыслу задачи, количество команд ($n$) должно быть положительным целым числом. Поэтому корень $n_2 = -8$ не является решением.
Таким образом, в турнире участвовало 9 команд.
Проверим результат: если команд 9, то число матчей равно $\frac{9 \cdot (9-1)}{2} = \frac{9 \cdot 8}{2} = \frac{72}{2} = 36$, что соответствует условию.
Ответ: 9 команд.