Номер 20.22, страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 20.22, страница 172.
№20.22 (с. 172)
Условие. №20.22 (с. 172)
скриншот условия
 
                                20.22. Решите уравнение:
1) $x^2 + 2x + \frac{3}{x-8} = \frac{3}{x-8} + 80;$
2) $x^2 + 8(\sqrt{x})^2 - 33 = 0;$
3) $2x^2 + 9(\sqrt{x+1})^2 - 27 = 0;$
4) $x^2 - 5x \frac{|x-2|}{x-2} - 14 = 0.$
Решение. №20.22 (с. 172)
1) Дано уравнение $x^2 + 2x + \frac{3}{x-8} = \frac{3}{x-8} + 80$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x - 8 \neq 0$, то есть $x \neq 8$.
На ОДЗ мы можем вычесть из обеих частей уравнения дробь $\frac{3}{x-8}$:
$x^2 + 2x = 80$
Перенесем 80 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 2x - 80 = 0$
Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а их произведение равно $-80$. Подбором находим корни: $x_1 = -10$ и $x_2 = 8$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 8$). Корень $x_2 = 8$ не удовлетворяет ОДЗ, следовательно, является посторонним. Корень $x_1 = -10$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-10$.
2) Дано уравнение $x^2 + 8(\sqrt{x})^2 - 33 = 0$.
ОДЗ: выражение под знаком корня должно быть неотрицательным, то есть $x \geq 0$.
При $x \geq 0$ выполняется равенство $(\sqrt{x})^2 = x$. Подставим это в уравнение:
$x^2 + 8x - 33 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-33) = 64 + 132 = 196 = 14^2$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 14}{2}$
$x_1 = \frac{-8 + 14}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-8 - 14}{2} = \frac{-22}{2} = -11$
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \geq 0$). Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию. Корень $x_2 = -11$ не удовлетворяет условию, поэтому является посторонним.
Ответ: $3$.
3) Дано уравнение $2x^2 + 9(\sqrt{x+1})^2 - 27 = 0$.
ОДЗ: $x+1 \geq 0$, то есть $x \geq -1$.
При $x \geq -1$ выполняется равенство $(\sqrt{x+1})^2 = x+1$. Уравнение принимает вид:
$2x^2 + 9(x+1) - 27 = 0$
Раскроем скобки и упростим:
$2x^2 + 9x + 9 - 27 = 0$
$2x^2 + 9x - 18 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 81 + 144 = 225 = 15^2$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 \pm 15}{2 \cdot 2} = \frac{-9 \pm 15}{4}$
$x_1 = \frac{-9 + 15}{4} = \frac{6}{4} = 1,5$
$x_2 = \frac{-9 - 15}{4} = \frac{-24}{4} = -6$
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \geq -1$). Корень $x_1 = 1,5$ удовлетворяет условию. Корень $x_2 = -6$ не удовлетворяет условию.
Ответ: $1,5$.
4) Дано уравнение $x^2 - 5x \frac{|x-2|}{x-2} - 14 = 0$.
ОДЗ: $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.
Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
Случай 1: $x - 2 > 0$, то есть $x > 2$.
В этом случае $|x-2| = x-2$, и выражение $\frac{|x-2|}{x-2} = 1$. Уравнение принимает вид:
$x^2 - 5x(1) - 14 = 0$
$x^2 - 5x - 14 = 0$
По теореме Виета, корни: $x_1 = 7$, $x_2 = -2$. Условию $x > 2$ удовлетворяет только корень $x_1 = 7$.
Случай 2: $x - 2 < 0$, то есть $x < 2$.
В этом случае $|x-2| = -(x-2)$, и выражение $\frac{|x-2|}{x-2} = -1$. Уравнение принимает вид:
$x^2 - 5x(-1) - 14 = 0$
$x^2 + 5x - 14 = 0$
По теореме Виета, корни: $x_3 = -7$, $x_4 = 2$. Условию $x < 2$ удовлетворяет только корень $x_3 = -7$. (Корень $x_4 = 2$ также не входит в ОДЗ).
Объединяя решения из обоих случаев, получаем два корня.
Ответ: $-7; 7$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 20.22 расположенного на странице 172 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №20.22 (с. 172), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    