Номер 20.22, страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 20.22, страница 172.

Условие.

20.22. Решите уравнение:

1) $x^2 + 2x + \frac{3}{x-8} = \frac{3}{x-8} + 80;$

2) $x^2 + 8(\sqrt{x})^2 - 33 = 0;$

3) $2x^2 + 9(\sqrt{x+1})^2 - 27 = 0;$

4) $x^2 - 5x \frac{|x-2|}{x-2} - 14 = 0.$

Решение.

1) Дано уравнение $x^2 + 2x + \frac{3}{x-8} = \frac{3}{x-8} + 80$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x - 8 \neq 0$, то есть $x \neq 8$.

На ОДЗ мы можем вычесть из обеих частей уравнения дробь $\frac{3}{x-8}$:

$x^2 + 2x = 80$

Перенесем 80 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 80 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а их произведение равно $-80$. Подбором находим корни: $x_1 = -10$ и $x_2 = 8$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 8$). Корень $x_2 = 8$ не удовлетворяет ОДЗ, следовательно, является посторонним. Корень $x_1 = -10$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-10$.

2) Дано уравнение $x^2 + 8(\sqrt{x})^2 - 33 = 0$.

ОДЗ: выражение под знаком корня должно быть неотрицательным, то есть $x \geq 0$.

При $x \geq 0$ выполняется равенство $(\sqrt{x})^2 = x$. Подставим это в уравнение:

$x^2 + 8x - 33 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-33) = 64 + 132 = 196 = 14^2$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 14}{2}$

$x_1 = \frac{-8 + 14}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-8 - 14}{2} = \frac{-22}{2} = -11$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \geq 0$). Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию. Корень $x_2 = -11$ не удовлетворяет условию, поэтому является посторонним.

Ответ: $3$.

3) Дано уравнение $2x^2 + 9(\sqrt{x+1})^2 - 27 = 0$.

ОДЗ: $x+1 \geq 0$, то есть $x \geq -1$.

При $x \geq -1$ выполняется равенство $(\sqrt{x+1})^2 = x+1$. Уравнение принимает вид:

$2x^2 + 9(x+1) - 27 = 0$

Раскроем скобки и упростим:

$2x^2 + 9x + 9 - 27 = 0$

$2x^2 + 9x - 18 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 81 + 144 = 225 = 15^2$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 \pm 15}{2 \cdot 2} = \frac{-9 \pm 15}{4}$

$x_1 = \frac{-9 + 15}{4} = \frac{6}{4} = 1,5$

$x_2 = \frac{-9 - 15}{4} = \frac{-24}{4} = -6$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \geq -1$). Корень $x_1 = 1,5$ удовлетворяет условию. Корень $x_2 = -6$ не удовлетворяет условию.

Ответ: $1,5$.

4) Дано уравнение $x^2 - 5x \frac{|x-2|}{x-2} - 14 = 0$.

ОДЗ: $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x - 2 > 0$, то есть $x > 2$.

В этом случае $|x-2| = x-2$, и выражение $\frac{|x-2|}{x-2} = 1$. Уравнение принимает вид:

$x^2 - 5x(1) - 14 = 0$

$x^2 - 5x - 14 = 0$

По теореме Виета, корни: $x_1 = 7$, $x_2 = -2$. Условию $x > 2$ удовлетворяет только корень $x_1 = 7$.

Случай 2: $x - 2 < 0$, то есть $x < 2$.

В этом случае $|x-2| = -(x-2)$, и выражение $\frac{|x-2|}{x-2} = -1$. Уравнение принимает вид:

$x^2 - 5x(-1) - 14 = 0$

$x^2 + 5x - 14 = 0$

По теореме Виета, корни: $x_3 = -7$, $x_4 = 2$. Условию $x < 2$ удовлетворяет только корень $x_3 = -7$. (Корень $x_4 = 2$ также не входит в ОДЗ).

Объединяя решения из обоих случаев, получаем два корня.

Ответ: $-7; 7$.