Номер 20.20, страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 20.20, страница 172.

Условие.

20.20. Решите уравнение:

1) $|x^2 - x - 5| = 1;$

2) $x^2 - 4|x| - 21 = 0;$

3) $x|x| + 6x - 5 = 0;$

4) $x^2 + \frac{4x^2}{|x|} - 12 = 0;$

5) $x^2 + 6|x| + 8 = 0;$

6) $x^2 - |x - 5| = 5;$

7) $x|2x + 1| - 3x - 4 = 0;$

8) $x^2 - 8\sqrt{x^2} + 15 = 0;$

9) $x^2 + 4\sqrt{x^2} - 12 = 0;$

10) $||x^2 - 6x + 4| - 3| = 1.$

Решение.

1) $|x^2 - x - 5| = 1$

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $x^2 - x - 5 = 1$ или $x^2 - x - 5 = -1$.

Решим первое уравнение:
$x^2 - x - 6 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 5}{2} = 3$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 5}{2} = -2$.

Решим второе уравнение:
$x^2 - x - 4 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$.
Корни уравнения:
$x_3 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$.
$x_4 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$.

Ответ: $-2; 3; \frac{1 - \sqrt{17}}{2}; \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$.

2) $x^2 - 4|x| - 21 = 0$

Так как $x^2 = |x|^2$, уравнение можно переписать в виде: $|x|^2 - 4|x| - 21 = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = |x|$, где $y \ge 0$. Получим квадратное уравнение: $y^2 - 4y - 21 = 0$.

Решим его через дискриминант:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$.
$y_1 = \frac{4 + \sqrt{100}}{2} = \frac{4 + 10}{2} = 7$.
$y_2 = \frac{4 - \sqrt{100}}{2} = \frac{4 - 10}{2} = -3$.

Поскольку $y \ge 0$, корень $y_2 = -3$ не подходит. Возвращаемся к исходной переменной: $|x| = 7$. Отсюда получаем два корня: $x_1 = 7$ и $x_2 = -7$.

Ответ: $-7; 7$.

3) $x|x| + 6x - 5 = 0$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$.
Уравнение принимает вид:
$x \cdot x + 6x - 5 = 0$
$x^2 + 6x - 5 = 0$.
$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 36 + 20 = 56 = 4 \cdot 14$.
$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{56}}{2} = \frac{-6 + 2\sqrt{14}}{2} = -3 + \sqrt{14}$.
$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{56}}{2} = \frac{-6 - 2\sqrt{14}}{2} = -3 - \sqrt{14}$.
Проверяем условие $x \ge 0$. $x_1 = -3 + \sqrt{14} > 0$ (так как $\sqrt{14} > \sqrt{9} = 3$), значит, это корень. $x_2 = -3 - \sqrt{14} < 0$, значит, это не корень.

Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$.
Уравнение принимает вид:
$x \cdot (-x) + 6x - 5 = 0$
$-x^2 + 6x - 5 = 0$
$x^2 - 6x + 5 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_3 = 1$ и $x_4 = 5$. Проверяем условие $x < 0$. Оба корня не удовлетворяют этому условию.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $-3 + \sqrt{14}$.

4) $x^2 + \frac{4x^2}{|x|} - 12 = 0$

Область допустимых значений: $x \ne 0$. Так как $x^2 = |x|^2$, то $\frac{x^2}{|x|} = \frac{|x|^2}{|x|} = |x|$ для $x \ne 0$. Уравнение можно переписать в виде: $|x|^2 + 4|x| - 12 = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = |x|$, где $y > 0$.
$y^2 + 4y - 12 = 0$.
По теореме Виета, корни $y_1 = 2$ и $y_2 = -6$.

Поскольку $y > 0$, корень $y_2 = -6$ не подходит. Возвращаемся к исходной переменной: $|x| = 2$. Отсюда получаем два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-2; 2$.

5) $x^2 + 6|x| + 8 = 0$

Так как $x^2 = |x|^2$, уравнение можно переписать в виде: $|x|^2 + 6|x| + 8 = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = |x|$, где $y \ge 0$.
$y^2 + 6y + 8 = 0$.
По теореме Виета, корни $y_1 = -2$ и $y_2 = -4$.

Оба корня отрицательные, а по условию замены $y \ge 0$. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

6) $x^2 - |x - 5| = 5$

Перепишем уравнение в виде $x^2 - 5 = |x - 5|$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x - 5 \ge 0$, то есть $x \ge 5$.
Тогда $|x - 5| = x - 5$.
$x^2 - 5 = x - 5$
$x^2 - x = 0$
$x(x - 1) = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = 1$.
Ни один из этих корней не удовлетворяет условию $x \ge 5$.

Случай 2: $x - 5 < 0$, то есть $x < 5$.
Тогда $|x - 5| = -(x - 5) = 5 - x$.
$x^2 - 5 = 5 - x$
$x^2 + x - 10 = 0$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 1 + 40 = 41$.
$x_3 = \frac{-1 + \sqrt{41}}{2}$.
$x_4 = \frac{-1 - \sqrt{41}}{2}$.
Проверим условие $x < 5$. Так как $6 < \sqrt{41} < 7$, то $x_3 = \frac{-1 + \sqrt{41}}{2} < \frac{-1+7}{2} = 3$. $3 < 5$, значит, $x_3$ является корнем. $x_4 = \frac{-1 - \sqrt{41}}{2} < 0$, следовательно, $x_4 < 5$, значит, $x_4$ также является корнем.

Ответ: $\frac{-1 - \sqrt{41}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{41}}{2}$.

7) $x|2x + 1| - 3x - 4 = 0$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $2x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -0.5$.
Тогда $|2x + 1| = 2x + 1$.
$x(2x + 1) - 3x - 4 = 0$
$2x^2 + x - 3x - 4 = 0$
$2x^2 - 2x - 4 = 0$
$x^2 - x - 2 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$. Проверяем условие $x \ge -0.5$. Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет, а $x_2 = -1$ — нет.

Случай 2: $2x + 1 < 0$, то есть $x < -0.5$.
Тогда $|2x + 1| = -(2x + 1)$.
$x(-(2x + 1)) - 3x - 4 = 0$
$-2x^2 - x - 3x - 4 = 0$
$-2x^2 - 4x - 4 = 0$
$x^2 + 2x + 2 = 0$.
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.
Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Единственным решением уравнения является $x = 2$.

Ответ: $2$.

8) $x^2 - 8\sqrt{x^2} + 15 = 0$

Используем тождество $\sqrt{x^2} = |x|$. Уравнение принимает вид: $x^2 - 8|x| + 15 = 0$.

Так как $x^2 = |x|^2$, получаем: $|x|^2 - 8|x| + 15 = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = |x|$, где $y \ge 0$.
$y^2 - 8y + 15 = 0$.
По теореме Виета, корни $y_1 = 3$ и $y_2 = 5$.

Оба корня положительные, поэтому оба подходят. Возвращаемся к исходной переменной:
1) $|x| = 3 \implies x = 3$ или $x = -3$.
2) $|x| = 5 \implies x = 5$ или $x = -5$.

Ответ: $-5; -3; 3; 5$.

9) $x^2 + 4\sqrt{x^2} - 12 = 0$

Используем тождество $\sqrt{x^2} = |x|$. Уравнение принимает вид: $x^2 + 4|x| - 12 = 0$.

Так как $x^2 = |x|^2$, получаем: $|x|^2 + 4|x| - 12 = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = |x|$, где $y \ge 0$.
$y^2 + 4y - 12 = 0$.
По теореме Виета, корни $y_1 = 2$ и $y_2 = -6$.

Корень $y_2 = -6$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$. Возвращаемся к исходной переменной: $|x| = 2$. Отсюда получаем два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Ответ: $-2; 2$.

10) $||x^2 - 6x + 4| - 3| = 1$

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
$|x^2 - 6x + 4| - 3 = 1$ или $|x^2 - 6x + 4| - 3 = -1$.

Решим первое уравнение:
$|x^2 - 6x + 4| = 4$.
Это уравнение, в свою очередь, распадается на два:
1a) $x^2 - 6x + 4 = 4 \implies x^2 - 6x = 0 \implies x(x-6) = 0$. Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 6$.
1б) $x^2 - 6x + 4 = -4 \implies x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, корни: $x_3 = 2$, $x_4 = 4$.

Решим второе уравнение:
$|x^2 - 6x + 4| = 2$.
Это уравнение также распадается на два:
2a) $x^2 - 6x + 4 = 2 \implies x^2 - 6x + 2 = 0$.
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 36 - 8 = 28$.
$x = \frac{6 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 3 \pm \sqrt{7}$.
Корни: $x_5 = 3 + \sqrt{7}$, $x_6 = 3 - \sqrt{7}$.
2б) $x^2 - 6x + 4 = -2 \implies x^2 - 6x + 6 = 0$.
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 36 - 24 = 12$.
$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 3 \pm \sqrt{3}$.
Корни: $x_7 = 3 + \sqrt{3}$, $x_8 = 3 - \sqrt{3}$.

Объединяя все найденные корни, получаем ответ.

Ответ: $0; 2; 4; 6; 3 \pm \sqrt{3}; 3 \pm \sqrt{7}$.