Номер 20.24, страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 20.24, страница 172.

Условие.

20.24. Решите уравнение:

1) $ \sqrt{x^2 + 2x} + |x^2 - 8x - 20| = 0 $

2) $ \sqrt{x^2 - 9x + 8} + x^2 - 16x + 64 = 0 $

Решение.

1) Уравнение представлено в виде суммы двух неотрицательных слагаемых: $\sqrt{x^2 + 2x} \ge 0$ и $|x^2 - 8x - 20| \ge 0$. Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Таким образом, данное уравнение равносильно системе уравнений:

$\begin{cases} x^2 + 2x = 0, \\ x^2 - 8x - 20 = 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:
$x^2 + 2x = 0$
$x(x + 2) = 0$
Отсюда $x_1 = 0$ или $x_2 = -2$.

Решим второе уравнение системы:
$x^2 - 8x - 20 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 = 12^2$.
Найдем корни: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm 12}{2}$.
$x_3 = \frac{8 + 12}{2} = \frac{20}{2} = 10$.
$x_4 = \frac{8 - 12}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Решением системы является общее решение обоих уравнений. Сравнивая множества корней $\{0, -2\}$ и $\{10, -2\}$, находим общий корень $x = -2$.
Ответ: $-2$.

2) Заметим, что выражение $x^2 - 16x + 64$ является полным квадратом разности $(x-8)^2$. Перепишем уравнение:

$\sqrt{x^2 - 9x + 8} + (x - 8)^2 = 0$.

Это уравнение также является суммой двух неотрицательных слагаемых: $\sqrt{x^2 - 9x + 8} \ge 0$ и $(x-8)^2 \ge 0$. Сумма равна нулю, только если оба слагаемых равны нулю. Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 - 9x + 8 = 0, \\ (x - 8)^2 = 0. \end{cases}$

Решим второе уравнение системы:
$(x - 8)^2 = 0$
$x - 8 = 0$
$x = 8$.

Теперь подставим найденное значение $x=8$ в первое уравнение, чтобы проверить, является ли оно его корнем:
$8^2 - 9 \cdot 8 + 8 = 64 - 72 + 8 = 0$.
Так как $0=0$, то $x=8$ является корнем и первого уравнения. Следовательно, это единственное решение системы и исходного уравнения.
Ответ: $8$.