Номер 20.17, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 20.17, страница 171.

Условие.

20.17. Сколько сторон у многоугольника, если в нём можно провести 90 диагоналей?

Решение.

Количество диагоналей $d$ в выпуклом многоугольнике с $n$ сторонами можно найти по формуле:

$d = \frac{n(n-3)}{2}$

По условию задачи, количество диагоналей равно 90. Подставим это значение в формулу и решим полученное уравнение относительно $n$:

$90 = \frac{n(n-3)}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$180 = n(n-3)$

Раскроем скобки:

$180 = n^2 - 3n$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$n^2 - 3n - 180 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 9 + 720 = 729$

Найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 27}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$n_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 27}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Поскольку количество сторон многоугольника $n$ не может быть отрицательным числом, корень $n_2 = -12$ не является решением задачи. Следовательно, у многоугольника 15 сторон.

Ответ: 15