Номер 20.12, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 20.12, страница 171.

Условие.

20.12. От квадратного листа картона отрезали полоску в форме прямоугольника шириной 3 см и длиной, равной стороне квадрата. Площадь оставшейся части листа составляет 40 $\text{см}^2$. Найдите длину стороны квадратного листа картона.

Решение.

Пусть $x$ см — длина стороны исходного квадратного листа картона.

От квадратного листа отрезали полоску шириной 3 см и длиной, равной стороне квадрата ($x$ см). После этого осталась часть в форме прямоугольника. Одна сторона этого прямоугольника по-прежнему равна $x$ см, а другая стала короче на 3 см, то есть её длина составляет $(x-3)$ см.

Площадь оставшейся части (прямоугольника) равна произведению его сторон. По условию, эта площадь составляет 40 см². Составим и решим уравнение:

$x \cdot (x-3) = 40$

Раскроем скобки:

$x^2 - 3x = 40$

Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 3x - 40 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно -40. Подбором находим корни:

$x_1 = 8$

$x_2 = -5$

Поскольку $x$ обозначает длину стороны, это значение не может быть отрицательным. Следовательно, корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, единственным подходящим решением является $x=8$. Длина стороны квадратного листа картона равна 8 см.

Ответ: 8 см.