Номер 20.5, страница 170 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 20.5, страница 170.

Условие.

20.5. Решите уравнение:

1) $x^2 - x(\sqrt{6}-1) - \sqrt{6} = 0;$

2) $\frac{2x^2}{3} - \frac{x^2+2}{2} - \frac{x+2}{4} = 3.$

Решение.

1) $x^2 - x(\sqrt{6} - 1) - \sqrt{6} = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 1$, $b = -(\sqrt{6} - 1) = 1 - \sqrt{6}$ и $c = -\sqrt{6}$.

Решим его с помощью формулы для корней квадратного уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ - дискриминант.

Найдем дискриминант:

$D = (1 - \sqrt{6})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-\sqrt{6}) = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 + 4\sqrt{6} = 1 - 2\sqrt{6} + 6 + 4\sqrt{6} = 7 + 2\sqrt{6}$.

Представим дискриминант в виде полного квадрата: $7 + 2\sqrt{6} = 1 + 6 + 2\sqrt{6} = 1^2 + (\sqrt{6})^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{6} = (1 + \sqrt{6})^2$.

Теперь найдем корни уравнения:

$x = \frac{-(1 - \sqrt{6}) \pm \sqrt{(1 + \sqrt{6})^2}}{2 \cdot 1} = \frac{\sqrt{6} - 1 \pm (1 + \sqrt{6})}{2}$.

Найдем первый корень:

$x_1 = \frac{\sqrt{6} - 1 + 1 + \sqrt{6}}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$.

Найдем второй корень:

$x_2 = \frac{\sqrt{6} - 1 - (1 + \sqrt{6})}{2} = \frac{\sqrt{6} - 1 - 1 - \sqrt{6}}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Ответ: $x_1 = \sqrt{6}$, $x_2 = -1$.

2) $\frac{2x^2}{3} - \frac{x^2+2}{2} - \frac{x+2}{4} = 3$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 3, 2 и 4, которое равно 12.

$12 \cdot \frac{2x^2}{3} - 12 \cdot \frac{x^2+2}{2} - 12 \cdot \frac{x+2}{4} = 12 \cdot 3$

$4(2x^2) - 6(x^2+2) - 3(x+2) = 36$

Раскроем скобки:

$8x^2 - 6x^2 - 12 - 3x - 6 = 36$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 3x - 18 = 36$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 - 3x - 18 - 36 = 0$

$2x^2 - 3x - 54 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-54) = 9 + 8 \cdot 54 = 9 + 432 = 441$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$.

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-3) + 21}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 21}{4} = \frac{24}{4} = 6$.

$x_2 = \frac{-(-3) - 21}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 21}{4} = \frac{-18}{4} = -\frac{9}{2} = -4,5$.

Ответ: $x_1 = 6$, $x_2 = -4,5$.