Номер 19.23, страница 165 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений - номер 19.23, страница 165.

Условие.

19.23. Упростите выражение:

1) $10\sqrt{3} - 5\sqrt{48} + 2\sqrt{75}$;

2) $(3\sqrt{5} - \sqrt{20})\sqrt{5}$;

3) $(5 - \sqrt{2})^2$.

Решение.

1) Для упрощения выражения $10\sqrt{3} - 5\sqrt{48} + 2\sqrt{75}$ необходимо вынести множители из-под знаков корней, чтобы привести все слагаемые к общему виду.

Разложим числа под корнями на множители:

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$

Теперь подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение:

$10\sqrt{3} - 5 \cdot (4\sqrt{3}) + 2 \cdot (5\sqrt{3}) = 10\sqrt{3} - 20\sqrt{3} + 10\sqrt{3}$

Сгруппируем слагаемые с общим множителем $\sqrt{3}$:

$(10 - 20 + 10)\sqrt{3} = 0 \cdot \sqrt{3} = 0$

Ответ: $0$

2) Для упрощения выражения $(3\sqrt{5} - \sqrt{20})\sqrt{5}$ сначала упростим корень в скобках.

Разложим подкоренное выражение на множители:

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

Подставим это значение в исходное выражение:

$(3\sqrt{5} - 2\sqrt{5})\sqrt{5}$

Выполним вычитание в скобках:

$(3 - 2)\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 1 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}$

Так как $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$, получаем:

$\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5$

Ответ: $5$

3) Чтобы упростить выражение $(5 - \sqrt{2})^2$, воспользуемся формулой квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = 5$ и $b = \sqrt{2}$.

Применим формулу:

$(5 - \sqrt{2})^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2$

Вычислим каждый член выражения:

$5^2 = 25$

$2 \cdot 5 \cdot \sqrt{2} = 10\sqrt{2}$

$(\sqrt{2})^2 = 2$

Теперь сложим и вычтем полученные значения:

$25 - 10\sqrt{2} + 2 = (25 + 2) - 10\sqrt{2} = 27 - 10\sqrt{2}$

Ответ: $27 - 10\sqrt{2}$