Номер 19.19, страница 164 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений - номер 19.19, страница 164.

Условие.

19.19. Решите уравнение:

1) $x^2 - 7|x| = 0;$

2) $x^2 - 6|x| + x = 0;$

3) $2x^2 - \frac{3x^2}{|x|} = 0;$

4) $x^2 + \frac{9|x|}{x} = 0.$

Решение.

1) $x^2 - 7|x| = 0$

Поскольку $x^2 = |x|^2$ для любого действительного числа $x$, мы можем переписать уравнение в следующем виде:

$|x|^2 - 7|x| = 0$

Теперь вынесем общий множитель $|x|$ за скобки:

$|x|(|x| - 7) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два возможных случая:

1. $|x| = 0$, откуда следует, что $x = 0$.

2. $|x| - 7 = 0$, откуда $|x| = 7$. Это уравнение имеет два решения: $x = 7$ и $x = -7$.

Объединяя все найденные корни, получаем окончательный результат.

Ответ: $-7; 0; 7$.

2) $x^2 - 6|x| + x = 0$

Для решения этого уравнения необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $x$.

Случай 1: $x \ge 0$.

В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид:

$x^2 - 6x + x = 0$

$x^2 - 5x = 0$

$x(x - 5) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$. Оба корня удовлетворяют условию $x \ge 0$, поэтому оба являются решениями.

Случай 2: $x < 0$.

В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$x^2 - 6(-x) + x = 0$

$x^2 + 6x + x = 0$

$x^2 + 7x = 0$

$x(x + 7) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_3 = 0$ и $x_4 = -7$. Условию $x < 0$ удовлетворяет только $x_4 = -7$. Корень $x=0$ не удовлетворяет этому условию.

Объединяем решения из обоих случаев.

Ответ: $-7; 0; 5$.

3) $2x^2 - \frac{3x^2}{|x|} = 0$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $|x| \neq 0$, что означает $x \neq 0$.

Используя свойство $x^2 = |x|^2$, мы можем упростить дробь при $x \neq 0$:

$\frac{3x^2}{|x|} = \frac{3|x|^2}{|x|} = 3|x|$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2x^2 - 3|x| = 0$

Снова заменим $x^2$ на $|x|^2$:

$2|x|^2 - 3|x| = 0$

Вынесем $|x|$ за скобки:

$|x|(2|x| - 3) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1. $|x| = 0 \Rightarrow x = 0$. Этот корень не входит в ОДЗ, так как $x \neq 0$.

2. $2|x| - 3 = 0 \Rightarrow 2|x| = 3 \Rightarrow |x| = \frac{3}{2}$.

Из последнего уравнения получаем два корня: $x = \frac{3}{2}$ и $x = -\frac{3}{2}$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-\frac{3}{2}; \frac{3}{2}$.

4) $x^2 + \frac{9|x|}{x} = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю, то есть $x \neq 0$.

Рассмотрим два случая, чтобы раскрыть модуль.

Случай 1: $x > 0$.

При $x > 0$, имеем $|x| = x$. Тогда дробь $\frac{|x|}{x} = \frac{x}{x} = 1$.

Уравнение принимает вид:

$x^2 + 9 \cdot 1 = 0$

$x^2 + 9 = 0 \Rightarrow x^2 = -9$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Случай 2: $x < 0$.

При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Тогда дробь $\frac{|x|}{x} = \frac{-x}{x} = -1$.

Уравнение принимает вид:

$x^2 + 9 \cdot (-1) = 0$

$x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9$

Отсюда получаем два корня: $x = 3$ и $x = -3$. Условию $x < 0$ удовлетворяет только корень $x = -3$.

Таким образом, уравнение имеет только один корень.

Ответ: $-3$.