Номер 19.18, страница 164 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений - номер 19.18, страница 164.

Условие.

19.18. Решите уравнение:

1) $x^2 - 3|x| = 0;$

2) $x^2 + |x| - 2x = 0;$

3) $x^2 - \frac{|x|}{x} = 0;$

4) $x^2 - \frac{2x^2}{|x|} = 0;$

5) $2x^2 + 5|x| = 0;$

6) $x^2 + \frac{4x^2}{|x|} = 0.$

Решение.

1) Исходное уравнение: $x^2 - 3|x| = 0$.
Поскольку $x^2 = |x|^2$ для любого действительного числа $x$, мы можем переписать уравнение в виде:
$|x|^2 - 3|x| = 0$.
Вынесем общий множитель $|x|$ за скобки:
$|x|(|x| - 3) = 0$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:
1) $|x| = 0$, что дает корень $x = 0$.
2) $|x| - 3 = 0$, откуда $|x| = 3$. Это уравнение имеет два корня: $x = 3$ и $x = -3$.
Объединяя все найденные корни, получаем итоговый ответ.
Ответ: $-3; 0; 3$.

2) Исходное уравнение: $x^2 + |x| - 2x = 0$.
Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
Случай 1: $x \geq 0$. В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 + x - 2x = 0$
$x^2 - x = 0$
$x(x - 1) = 0$
Корни этого уравнения: $x = 0$ и $x = 1$. Оба корня удовлетворяют условию $x \geq 0$.
Случай 2: $x < 0$. В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 - x - 2x = 0$
$x^2 - 3x = 0$
$x(x - 3) = 0$
Корни этого уравнения: $x = 0$ и $x = 3$. Ни один из этих корней не удовлетворяет условию $x < 0$.
Объединяя решения из первого случая, получаем ответ.
Ответ: $0; 1$.

3) Исходное уравнение: $x^2 - \frac{|x|}{x} = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ определяется условием $x \neq 0$, так как знаменатель дроби не может быть равен нулю.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x > 0$. Тогда $|x| = x$, и уравнение становится:
$x^2 - \frac{x}{x} = 0$
$x^2 - 1 = 0$
$x^2 = 1$
Корни: $x = 1$ и $x = -1$. Условию $x > 0$ удовлетворяет только корень $x = 1$.
Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$, и уравнение становится:
$x^2 - \frac{-x}{x} = 0$
$x^2 - (-1) = 0$
$x^2 + 1 = 0$
Это уравнение не имеет действительных корней, так как $x^2 \geq 0$, и следовательно, $x^2 + 1 > 0$.
Таким образом, единственным решением исходного уравнения является $x = 1$.
Ответ: $1$.

4) Исходное уравнение: $x^2 - \frac{2x^2}{|x|} = 0$.
ОДЗ: $|x| \neq 0$, что означает $x \neq 0$.
Используем свойство $x^2 = |x|^2$. Уравнение можно переписать так:
$|x|^2 - \frac{2|x|^2}{|x|} = 0$.
Поскольку $x \neq 0$, то $|x| \neq 0$, и мы можем сократить дробь:
$|x|^2 - 2|x| = 0$.
Вынесем $|x|$ за скобки:
$|x|(|x| - 2) = 0$.
Так как $|x| \neq 0$, то единственная возможность — это $|x| - 2 = 0$.
Отсюда $|x| = 2$.
Уравнение имеет два корня: $x = 2$ и $x = -2$. Оба корня входят в ОДЗ.
Ответ: $-2; 2$.

5) Исходное уравнение: $2x^2 + 5|x| = 0$.
Для любого действительного числа $x$ выполняются неравенства $x^2 \geq 0$ и $|x| \geq 0$.
Следовательно, слагаемые в левой части уравнения неотрицательны: $2x^2 \geq 0$ и $5|x| \geq 0$.
Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю.
$2x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$.
$5|x| = 0 \Rightarrow |x| = 0 \Rightarrow x = 0$.
Оба условия приводят к единственному решению $x = 0$.
Ответ: $0$.

6) Исходное уравнение: $x^2 + \frac{4x^2}{|x|} = 0$.
ОДЗ: $|x| \neq 0$, что означает $x \neq 0$.
Используем свойство $x^2 = |x|^2$:
$|x|^2 + \frac{4|x|^2}{|x|} = 0$.
Так как $|x| \neq 0$, сокращаем дробь:
$|x|^2 + 4|x| = 0$.
Выносим $|x|$ за скобки:
$|x|(|x| + 4) = 0$.
Поскольку из ОДЗ следует, что $|x| \neq 0$, то равенство возможно только если второй множитель равен нулю:
$|x| + 4 = 0$
$|x| = -4$.
Модуль действительного числа не может быть отрицательным, поэтому это уравнение не имеет решений.
Ответ: корней нет.