Номер 19.11, страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений - номер 19.11, страница 163.

Условие.

19.11. Сумма квадратов двух последовательных целых чисел на 17 больше, чем удвоенное большее из них. Найдите эти числа.

Решение.

Пусть меньшее из двух последовательных целых чисел равно $n$, тогда следующее за ним (большее) число равно $n+1$.

Сумма квадратов этих чисел выражается как $n^2 + (n+1)^2$.

Удвоенное большее из этих чисел равно $2(n+1)$.

По условию задачи, сумма квадратов на 17 больше, чем удвоенное большее число. Это можно записать в виде уравнения:

$n^2 + (n+1)^2 = 2(n+1) + 17$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки:

$n^2 + (n^2 + 2n + 1) = 2n + 2 + 17$

Приведем подобные слагаемые:

$2n^2 + 2n + 1 = 2n + 19$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$2n^2 + 2n + 1 - 2n - 19 = 0$

$2n^2 - 18 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$n^2 - 9 = 0$

$n^2 = 9$

У этого уравнения есть два корня:

$n_1 = 3$ и $n_2 = -3$.

Найдем соответствующие пары чисел для каждого значения $n$:

1. Если $n = 3$, то второе число $n+1 = 3+1=4$. Таким образом, первая пара чисел — это 3 и 4.

2. Если $n = -3$, то второе число $n+1 = -3+1=-2$. Таким образом, вторая пара чисел — это -3 и -2.

Проверим оба решения.

Для пары 3 и 4: сумма квадратов $3^2+4^2 = 9+16=25$. Удвоенное большее число $2 \cdot 4 = 8$. $25 - 8 = 17$. Условие выполняется.

Для пары -3 и -2: сумма квадратов $(-3)^2+(-2)^2 = 9+4=13$. Удвоенное большее число $2 \cdot (-2) = -4$. $13 - (-4) = 17$. Условие выполняется.

Ответ: 3 и 4 или -3 и -2.