Номер 19.4, страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений - номер 19.4, страница 163.

Условие.

19.4. Решите уравнение:

1) $(3x - 2)(3x + 2) + (4x - 5)^2 = 10x + 21;$

2) $(2x - 1)(x + 8) - (x - 1)(x + 1) = 15x.$

Решение.

1) $(3x-2)(3x+2) + (4x-5)^2 = 10x+21$

Для решения данного уравнения раскроем скобки. Выражение $(3x-2)(3x+2)$ является разностью квадратов, а $(4x-5)^2$ - квадратом разности.

Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(3x-2)(3x+2) = (3x)^2 - 2^2 = 9x^2-4$

Применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:

$(4x-5)^2 = (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 5 + 5^2 = 16x^2 - 40x + 25$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(9x^2-4) + (16x^2-40x+25) = 10x+21$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(9x^2+16x^2) - 40x + (-4+25) = 10x+21$

$25x^2 - 40x + 21 = 10x+21$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приравняем к нулю:

$25x^2 - 40x + 21 - 10x - 21 = 0$

$25x^2 - 50x = 0$

Вынесем общий множитель $25x$ за скобки:

$25x(x-2) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$25x=0$ или $x-2=0$

$x_1 = 0$

$x_2 = 2$

Ответ: 0; 2.

2) $(2x-1)(x+8) - (x-1)(x+1) = 15x$

Раскроем скобки в левой части уравнения. Первое произведение - это произведение двух многочленов, второе - разность квадратов.

$(2x-1)(x+8) = 2x \cdot x + 2x \cdot 8 - 1 \cdot x - 1 \cdot 8 = 2x^2 + 16x - x - 8 = 2x^2 + 15x - 8$

$(x-1)(x+1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$

Подставим раскрытые скобки в уравнение:

$(2x^2 + 15x - 8) - (x^2 - 1) = 15x$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:

$2x^2 + 15x - 8 - x^2 + 1 = 15x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(2x^2 - x^2) + 15x + (-8+1) = 15x$

$x^2 + 15x - 7 = 15x$

Перенесем $15x$ из правой части в левую:

$x^2 + 15x - 15x - 7 = 0$

$x^2 - 7 = 0$

Перенесем 7 в правую часть:

$x^2 = 7$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{7}$

Таким образом, получаем два корня: $x_1 = -\sqrt{7}$ и $x_2 = \sqrt{7}$.

Ответ: $-\sqrt{7}$; $\sqrt{7}$.