Номер 19.7, страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений - номер 19.7, страница 163.

Условие.

19.7. Решите уравнение:

1) $\frac{x^2 - 8x}{6} = x$;

2) $\frac{x^2 - 3}{5} - \frac{x^2 - 1}{2} = 2$.

Решение.

1) $\frac{x^2 - 8x}{6} = x$

Для решения данного уравнения умножим обе его части на 6, чтобы избавиться от знаменателя:

$x^2 - 8x = 6x$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 8x - 6x = 0$

$x^2 - 14x = 0$

Получилось неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 14) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, имеем два случая:

$x = 0$

или

$x - 14 = 0$

Решая второе уравнение, получаем:

$x = 14$

Таким образом, уравнение имеет два корня: 0 и 14.

Ответ: $0; 14$.

2) $\frac{x^2 - 3}{5} - \frac{x^2 - 1}{2} = 2$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 5 и 2 равен 10. Умножим обе части уравнения на 10:

$10 \cdot \left(\frac{x^2 - 3}{5} - \frac{x^2 - 1}{2}\right) = 10 \cdot 2$

$\frac{10(x^2 - 3)}{5} - \frac{10(x^2 - 1)}{2} = 20$

$2(x^2 - 3) - 5(x^2 - 1) = 20$

Теперь раскроем скобки в левой части уравнения:

$2x^2 - 6 - 5x^2 + 5 = 20$

Приведем подобные слагаемые:

$(2x^2 - 5x^2) + (-6 + 5) = 20$

$-3x^2 - 1 = 20$

Перенесем -1 в правую часть уравнения, изменив знак:

$-3x^2 = 20 + 1$

$-3x^2 = 21$

Разделим обе части уравнения на -3:

$x^2 = \frac{21}{-3}$

$x^2 = -7$

Полученное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным числом.

Ответ: корней нет.