Номер 19.8, страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений - номер 19.8, страница 163.

Условие.

19.8. Решите уравнение:

1) $\frac{x^2+x}{7} - \frac{x}{3} = 0$;

2) $\frac{x^2+1}{6} - \frac{x^2+2}{4} = -1.$

Решение.

1) $\frac{x^2 + x}{7} - \frac{x}{3} = 0$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который для 7 и 3 равен 21:
$21 \cdot \left( \frac{x^2 + x}{7} - \frac{x}{3} \right) = 21 \cdot 0$
$3(x^2 + x) - 7x = 0$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$3x^2 + 3x - 7x = 0$
$3x^2 - 4x = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(3x - 4) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения:
$x_1 = 0$ или $3x - 4 = 0$
Решим второе уравнение:
$3x = 4$
$x_2 = \frac{4}{3}$
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: $0; \frac{4}{3}$.

2) $\frac{x^2 + 1}{6} - \frac{x^2 + 2}{4} = -1$
Найдем наименьший общий знаменатель для 6 и 4. Он равен 12. Умножим обе части уравнения на 12, чтобы избавиться от дробей:
$12 \cdot \left( \frac{x^2 + 1}{6} - \frac{x^2 + 2}{4} \right) = 12 \cdot (-1)$
$2(x^2 + 1) - 3(x^2 + 2) = -12$
Раскроем скобки:
$2x^2 + 2 - 3x^2 - 6 = -12$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$-x^2 - 4 = -12$
Перенесем -4 в правую часть, изменив знак:
$-x^2 = -12 + 4$
$-x^2 = -8$
Умножим обе части на -1:
$x^2 = 8$
Найдем корни уравнения, извлекая квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{8}$
Упростим корень: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.
Следовательно, уравнение имеет два корня.
Ответ: $-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2}$.