Номер 19.15, страница 164 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений - номер 19.15, страница 164.

Условие.

19.15. Имеет ли корни неполное квадратное уравнение $ax^2 + c = 0$, если:

1) $a > 0, c > 0$;

2) $a < 0, c > 0$;

3) $a > 0, c < 0$;

4) $a < 0, c < 0$?

Решение.

Для того чтобы определить, имеет ли неполное квадратное уравнение $ax^2 + c = 0$ корни, выразим из него $x^2$.

$ax^2 = -c$

$x^2 = -\frac{c}{a}$

Уравнение имеет действительные корни, если правая часть этого равенства неотрицательна, то есть $x^2 \ge 0$. Это означает, что должно выполняться условие $-\frac{c}{a} \ge 0$, что равносильно условию $\frac{c}{a} \le 0$. Это неравенство выполняется, когда числа $a$ и $c$ имеют разные знаки (или когда $c = 0$).

Проанализируем каждый случай.

1) $a > 0, c > 0$;

В этом случае коэффициенты $a$ и $c$ имеют одинаковые знаки (оба положительные). Тогда их отношение $\frac{c}{a}$ является положительным числом: $\frac{c}{a} > 0$.

Следовательно, выражение $-\frac{c}{a}$ будет отрицательным: $-\frac{c}{a} < 0$.

Уравнение $x^2 = -\frac{c}{a}$ принимает вид $x^2 = (\text{отрицательное число})$. Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то в этом случае уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет, не имеет.

2) $a < 0, c > 0$;

В этом случае коэффициенты $a$ и $c$ имеют разные знаки ($a$ — отрицательное, $c$ — положительное). Тогда их отношение $\frac{c}{a}$ является отрицательным числом: $\frac{c}{a} < 0$.

Следовательно, выражение $-\frac{c}{a}$ будет положительным: $-\frac{c}{a} > 0$.

Уравнение $x^2 = -\frac{c}{a}$ принимает вид $x^2 = (\text{положительное число})$. Такое уравнение имеет два действительных корня: $x = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$.

Ответ: да, имеет.

3) $a > 0, c < 0$;

В этом случае коэффициенты $a$ и $c$ также имеют разные знаки ($a$ — положительное, $c$ — отрицательное). Тогда их отношение $\frac{c}{a}$ является отрицательным числом: $\frac{c}{a} < 0$.

Следовательно, выражение $-\frac{c}{a}$ будет положительным: $-\frac{c}{a} > 0$.

Уравнение $x^2 = -\frac{c}{a}$ принимает вид $x^2 = (\text{положительное число})$. Такое уравнение имеет два действительных корня: $x = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$.

Ответ: да, имеет.

4) $a < 0, c < 0$?

В этом случае коэффициенты $a$ и $c$ имеют одинаковые знаки (оба отрицательные). Тогда их отношение $\frac{c}{a}$ является положительным числом (частное двух отрицательных чисел): $\frac{c}{a} > 0$.

Следовательно, выражение $-\frac{c}{a}$ будет отрицательным: $-\frac{c}{a} < 0$.

Уравнение $x^2 = -\frac{c}{a}$ принимает вид $x^2 = (\text{отрицательное число})$. Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то в этом случае уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет, не имеет.