Номер 19.16, страница 164 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений - номер 19.16, страница 164.

Условие.

19.16. Каким многочленом можно заменить звёздочку в уравнении $3x^2 - 2x + 4 + * = 0$, чтобы образовалось неполное квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

1) 0 и 4;

2) -1 и 1?

Решение.

1) 0 и 4

Неполное квадратное уравнение, один из корней которого равен 0, имеет вид $ax^2+bx=0$. Это означает, что его свободный член равен нулю. Исходное уравнение: $3x^2 - 2x + 4 + * = 0$. Чтобы свободный член итогового уравнения стал равен нулю, многочлен, который мы подставим вместо звёздочки, должен содержать слагаемое $-4$, чтобы скомпенсировать существующий свободный член $+4$. Также многочлен может содержать слагаемое с $x$, чтобы изменить коэффициент при $x$. Пусть искомый многочлен имеет вид $kx-4$.

Подставим этот многочлен в исходное уравнение:

$3x^2 - 2x + 4 + (kx - 4) = 0$

Упростим выражение:

$3x^2 - 2x + kx + 4 - 4 = 0$

$3x^2 + (k-2)x = 0$

Мы получили неполное квадратное уравнение. Найдём его корни, вынеся $x$ за скобки:

$x(3x + k - 2) = 0$

Отсюда следует, что либо $x_1 = 0$, либо $3x + k - 2 = 0$. Первый корень $x_1 = 0$ соответствует условию задачи. Второй корень $x_2$ найдём из второго уравнения. По условию, $x_2 = 4$. Подставим это значение:

$3 \cdot 4 + k - 2 = 0$

$12 + k - 2 = 0$

$10 + k = 0$

$k = -10$

Таким образом, искомый многочлен равен $kx-4 = -10x-4$.

Ответ: $-10x - 4$.

2) -1 и 1

Неполное квадратное уравнение, корни которого являются противоположными числами (как -1 и 1), имеет вид $ax^2+c=0$. Это означает, что коэффициент при $x$ в первой степени должен быть равен нулю. Исходное уравнение: $3x^2 - 2x + 4 + * = 0$. Чтобы коэффициент при $x$ стал равен нулю, многочлен, который мы подставим вместо звёздочки, должен содержать слагаемое $2x$, чтобы скомпенсировать существующий член $-2x$. Также многочлен может содержать свободный член. Пусть искомый многочлен имеет вид $2x+m$.

Подставим этот многочлен в исходное уравнение:

$3x^2 - 2x + 4 + (2x + m) = 0$

Упростим выражение:

$3x^2 - 2x + 2x + 4 + m = 0$

$3x^2 + (4 + m) = 0$

Мы получили неполное квадратное уравнение. По условию, его корнями являются числа -1 и 1. Подставим один из корней, например $x=1$, в полученное уравнение, чтобы найти $m$:

$3(1)^2 + 4 + m = 0$

$3 \cdot 1 + 4 + m = 0$

$3 + 4 + m = 0$

$7 + m = 0$

$m = -7$

Таким образом, искомый многочлен равен $2x+m = 2x-7$.

Ответ: $2x - 7$.