Номер 19.12, страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений - номер 19.12, страница 163.

Условие.

19.12. Найдите два последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 1.

Решение.

Пусть первое искомое целое число равно $n$. Так как числа последовательные, то второе число будет $n+1$.

По условию задачи сумма квадратов этих чисел равна 1. Составим и решим уравнение:

$n^2 + (n+1)^2 = 1$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы:

$n^2 + n^2 + 2n + 1 = 1$

Приведем подобные слагаемые и упростим уравнение:

$2n^2 + 2n + 1 = 1$

$2n^2 + 2n = 0$

Вынесем общий множитель $2n$ за скобки:

$2n(n + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Следовательно, мы имеем два возможных случая:

1) $2n = 0 \implies n = 0$

2) $n + 1 = 0 \implies n = -1$

Теперь найдем соответствующие пары последовательных чисел:

Если $n=0$, то второе число $n+1 = 0+1 = 1$. Получаем пару чисел (0, 1).

Если $n=-1$, то второе число $n+1 = -1+1 = 0$. Получаем пару чисел (-1, 0).

Проверим найденные решения:

Для пары (0, 1): $0^2 + 1^2 = 0 + 1 = 1$.

Для пары (-1, 0): $(-1)^2 + 0^2 = 1 + 0 = 1$.

Оба решения удовлетворяют условию задачи.

Ответ: -1 и 0; 0 и 1.