Номер 19.17, страница 164 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений - номер 19.17, страница 164.

Условие.

19.17. Каким многочленом можно заменить звёздочку в уравнении $x^2 + 5x - 1 + * = 0$, чтобы образовалось неполное квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

1) -7 и 0;

2) -4 и 4?

Решение.

Пусть звёздочка заменена многочленом $M$. Исходное уравнение: $x^2+5x-1+M=0$.

Неполное квадратное уравнение — это уравнение вида $ax^2+bx=0$ (где $c=0$) или $ax^2+c=0$ (где $b=0$).

Если квадратное уравнение имеет корни $x_1$ и $x_2$, то его можно записать в виде $a(x-x_1)(x-x_2)=0$. В нашем случае старший коэффициент равен 1, поэтому $a=1$.

1) -7 и 0

Если корнями уравнения являются числа -7 и 0, то уравнение имеет вид:
$(x - (-7))(x - 0) = 0$
$(x+7)x = 0$
$x^2 + 7x = 0$
Это неполное квадратное уравнение, так как свободный член $c=0$.

Теперь найдём многочлен $M$, который нужно подставить вместо звёздочки. Для этого приравняем исходное уравнение (с многочленом $M$) к полученному нами уравнению:
$x^2 + 5x - 1 + M = x^2 + 7x$
Выразим $M$:
$M = (x^2 + 7x) - (x^2 + 5x - 1)$
$M = x^2 + 7x - x^2 - 5x + 1$
$M = 2x + 1$
Ответ: $2x+1$.

2) -4 и 4?

Если корнями уравнения являются числа -4 и 4, то уравнение имеет вид:
$(x - (-4))(x - 4) = 0$
$(x+4)(x-4) = 0$
$x^2 - 16 = 0$
Это неполное квадратное уравнение, так как коэффициент при $x$ равен нулю ($b=0$).

Найдём многочлен $M$, который нужно подставить вместо звёздочки:
$x^2 + 5x - 1 + M = x^2 - 16$
Выразим $M$:
$M = (x^2 - 16) - (x^2 + 5x - 1)$
$M = x^2 - 16 - x^2 - 5x + 1$
$M = -5x - 15$
Ответ: $-5x-15$.