Номер 19.22, страница 164 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений - номер 19.22, страница 164.

Условие.

19.22. Определите, при каком значении параметра $a$ корни уравнения являются противоположными числами, и найдите их:

1) $x^2 + (a + 6)x + a + 4 = 0;$

2) $x^2 + (a - 1)x + a + 8 = 0.$

Решение.

1) $x^2 + (a + 6)x + a + 4 = 0$

Если корни квадратного уравнения $x_1$ и $x_2$ являются противоположными числами, то их сумма равна нулю: $x_1 + x_2 = 0$.

Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ по теореме Виета сумма корней равна $x_1 + x_2 = -p$. В данном уравнении $p = a + 6$.

Приравнивая сумму корней к нулю, получаем уравнение относительно параметра $a$:

$-(a + 6) = 0$

$a + 6 = 0$

$a = -6$

Теперь необходимо найти сами корни. Для этого подставим найденное значение $a = -6$ в исходное уравнение:

$x^2 + (-6 + 6)x + (-6 + 4) = 0$

$x^2 + 0 \cdot x - 2 = 0$

$x^2 - 2 = 0$

Решаем полученное уравнение:

$x^2 = 2$

$x_{1,2} = \pm\sqrt{2}$

Корни $x_1 = \sqrt{2}$ и $x_2 = -\sqrt{2}$ действительно являются противоположными числами.

Ответ: при $a = -6$ корни уравнения равны $-\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$.

2) $x^2 + (a - 1)x + a + 8 = 0$

Аналогично первому пункту, условием того, что корни являются противоположными числами, является равенство их суммы нулю: $x_1 + x_2 = 0$.

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -(a - 1)$.

Составляем и решаем уравнение для $a$:

$-(a - 1) = 0$

$a - 1 = 0$

$a = 1$

Подставим найденное значение $a = 1$ в исходное уравнение:

$x^2 + (1 - 1)x + 1 + 8 = 0$

$x^2 + 0 \cdot x + 9 = 0$

$x^2 + 9 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$x^2 = -9$

Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен. Следовательно, не существует такого значения параметра $a$, при котором уравнение имело бы действительные противоположные корни.

Это можно также проверить через другое следствие из теоремы Виета. Произведение корней $x_1 \cdot x_2$ равно свободному члену $q = a+8$. Если корни противоположны ($x_1$ и $-x_1$), то их произведение равно $x_1 \cdot (-x_1) = -x_1^2$. Так как для действительного числа $x_1^2 \ge 0$, то произведение $-x_1^2 \le 0$. Таким образом, должно выполняться условие $a+8 \le 0$. При $a=1$ получаем $1+8=9$, что не удовлетворяет условию $9 \le 0$.

Ответ: такого значения параметра $a$ не существует.