Номер 20.3, страница 170 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 20.3, страница 170.

Условие.

20.3. Найдите корни уравнения:

1) $(2x - 5)(x + 2) = 18;$

2) $(x + 3)^2 - (2x - 1)^2 = 16;$

3) $(4x - 3)^2 + (3x - 1)(3x + 1) = 9;$

4) $(x - 6)^2 - 2x(x + 3) = 30 - 12x.$

Решение.

1) $(2x - 5)(x + 2) = 18$

Для начала раскроем скобки в левой части уравнения, перемножив многочлены:

$2x^2 + 4x - 5x - 10 = 18$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - x - 10 = 18$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$2x^2 - x - 10 - 18 = 0$

$2x^2 - x - 28 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-28) = 1 + 224 = 225$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 15}{4} = \frac{16}{4} = 4$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 15}{4} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2} = -3,5$

Ответ: -3,5; 4.

2) $(x + 3)^2 - (2x - 1)^2 = 16$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x + 3$ и $b = 2x - 1$:

$((x + 3) - (2x - 1))((x + 3) + (2x - 1)) = 16$

Раскроем внутренние скобки:

$(x + 3 - 2x + 1)(x + 3 + 2x - 1) = 16$

Приведем подобные слагаемые в каждой из скобок:

$(-x + 4)(3x + 2) = 16$

Теперь раскроем оставшиеся скобки:

$-3x^2 - 2x + 12x + 8 = 16$

$-3x^2 + 10x + 8 = 16$

Перенесем 16 в левую часть:

$-3x^2 + 10x + 8 - 16 = 0$

$-3x^2 + 10x - 8 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1 для удобства вычислений:

$3x^2 - 10x + 8 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 - 96 = 4$

Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 2}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$x_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 2}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Ответ: $4/3$; 2.

3) $(4x - 3)^2 + (3x - 1)(3x + 1) = 9$

Раскроем скобки. Для первого слагаемого используем формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, а для второго — формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$:

$(16x^2 - 2 \cdot 4x \cdot 3 + 3^2) + ((3x)^2 - 1^2) = 9$

$(16x^2 - 24x + 9) + (9x^2 - 1) = 9$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$25x^2 - 24x + 8 = 9$

Перенесем все члены в левую часть:

$25x^2 - 24x + 8 - 9 = 0$

$25x^2 - 24x - 1 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-24)^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-1) = 576 + 100 = 676$

Поскольку $\sqrt{676} = 26$, найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-24) + 26}{2 \cdot 25} = \frac{24 + 26}{50} = \frac{50}{50} = 1$

$x_2 = \frac{-(-24) - 26}{2 \cdot 25} = \frac{24 - 26}{50} = \frac{-2}{50} = -\frac{1}{25}$

Ответ: -1/25; 1.

4) $(x - 6)^2 - 2x(x + 3) = 30 - 12x$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2) - (2x^2 + 6x) = 30 - 12x$

$x^2 - 12x + 36 - 2x^2 - 6x = 30 - 12x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-x^2 - 18x + 36 = 30 - 12x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$-x^2 - 18x + 12x + 36 - 30 = 0$

$-x^2 - 6x + 6 = 0$

Умножим обе части на -1:

$x^2 + 6x - 6 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 36 + 24 = 60$

Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{4 \cdot 15}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{15}}{2}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$x = -3 \pm \sqrt{15}$

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = -3 + \sqrt{15}$ и $x_2 = -3 - \sqrt{15}$.

Ответ: $-3 \pm \sqrt{15}$.