Номер 20.4, страница 170 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 20.4, страница 170.

Условие.

20.4. Решите уравнение:

1) $(x-4)^2 = 4x-11;$

2) $(3x-1)(x+4) = (2x+3)(x+3)-17.$

Решение.

1) $(x - 4)^2 = 4x - 11$

Для решения этого уравнения сначала раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = 4x - 11$

$x^2 - 8x + 16 = 4x - 11$

Теперь перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 8x + 16 - 4x + 11 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 12x + 27 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 144 - 108 = 36$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{12 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 6}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{12 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 6}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Ответ: 3; 9.

2) $(3x - 1)(x + 4) = (2x + 3)(x + 3) - 17$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, перемножая многочлены:

Левая часть: $(3x - 1)(x + 4) = 3x \cdot x + 3x \cdot 4 - 1 \cdot x - 1 \cdot 4 = 3x^2 + 12x - x - 4 = 3x^2 + 11x - 4$

Правая часть: $(2x + 3)(x + 3) - 17 = (2x \cdot x + 2x \cdot 3 + 3 \cdot x + 3 \cdot 3) - 17 = (2x^2 + 6x + 3x + 9) - 17 = 2x^2 + 9x + 9 - 17 = 2x^2 + 9x - 8$

Теперь приравняем полученные выражения:

$3x^2 + 11x - 4 = 2x^2 + 9x - 8$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$3x^2 + 11x - 4 - 2x^2 - 9x + 8 = 0$

$(3x^2 - 2x^2) + (11x - 9x) + (-4 + 8) = 0$

$x^2 + 2x + 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$

Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.