Номер 20.11, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 20.11, страница 171.

Условие.

20.11. Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел равна 365. Найдите эти числа.

Решение.

Пусть первое из двух последовательных натуральных чисел равно $n$. Тогда второе число равно $n + 1$. По условию, $n$ является натуральным числом, то есть $n \in N$.

Сумма квадратов этих чисел равна 365. Составим уравнение на основе этого условия:

$n^2 + (n + 1)^2 = 365$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$n^2 + (n^2 + 2n + 1) = 365$

Приведем подобные слагаемые:

$2n^2 + 2n + 1 = 365$

Перенесем все члены в левую часть уравнения, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2n^2 + 2n + 1 - 365 = 0$

$2n^2 + 2n - 364 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для его упрощения:

$n^2 + n - 182 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

В нашем уравнении коэффициенты $a=1$, $b=1$, $c=-182$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-182) = 1 + 728 = 729$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{729} = 27$

$n_1 = \frac{-1 + 27}{2} = \frac{26}{2} = 13$

$n_2 = \frac{-1 - 27}{2} = \frac{-28}{2} = -14$

По условию задачи, искомые числа являются натуральными. Корень $n_2 = -14$ является отрицательным числом и не подходит. Корень $n_1 = 13$ является натуральным числом.

Таким образом, первое число равно 13. Второе последовательное число равно $n + 1 = 13 + 1 = 14$.

Проверим найденное решение:

$13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365$

Сумма квадратов чисел 13 и 14 действительно равна 365.

Ответ: 13 и 14.