Номер 20.18, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 20.18, страница 171.

Условие.

20.18. При каких значениях параметра $b$ имеет единственный корень уравнение:

1) $2x^2 + 4x - b = 0$;

2) $3x^2 - bx + 12 = 0?$

Решение.

Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ (где $a \ne 0$) имеет единственный корень (или два совпадающих корня) в том случае, когда его дискриминант $D$ равен нулю. Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

1) $2x^2 + 4x - b = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a = 2$, $b = 4$, $c = -b$.

Найдем дискриминант данного уравнения:

$D = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-b) = 16 - 8(-b) = 16 + 8b$

Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти значение параметра $b$, при котором уравнение имеет единственный корень:

$16 + 8b = 0$

$8b = -16$

$b = \frac{-16}{8}$

$b = -2$

Ответ: $b = -2$.

2) $3x^2 - bx + 12 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a = 3$, $b_{param} = -b$, $c = 12$. Чтобы не путать коэффициент при $x$ с параметром $b$, обозначим его как $b_{param}$.

Найдем дискриминант данного уравнения:

$D = (b_{param})^2 - 4ac = (-b)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 12 = b^2 - 144$

Приравняем дискриминант к нулю:

$b^2 - 144 = 0$

$b^2 = 144$

Из этого уравнения получаем два возможных значения для параметра $b$:

$b_1 = \sqrt{144} = 12$

$b_2 = -\sqrt{144} = -12$

Ответ: $b = 12$ или $b = -12$.