Номер 20.21, страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 20.21, страница 172.

Условие.

20.21. Решите уравнение:

1) $x^2 - 7|x| + 6 = 0;$

2) $|x^2 - x - 1| = 1;$

3) $x|x| + 12x - 45 = 0;$

4) $3x^2 + 7|x| - 6 = 0;$

5) $2x^2 - \frac{13x^2}{|x|} + 6 = 0;$

6) $\frac{x^3}{|x|} - 14x - 15 = 0;$

7) $x^2 - 8\sqrt{x^2} - 9 = 0;$

8) $x^2 + 7\sqrt{x^2} + 12 = 0;$

9) $x^2 + |x+4| = 4;$

10) $x|x-2| - 6x + 8 = 0.$

Решение.

1) Заметим, что $x^2 = |x|^2$. Тогда уравнение можно переписать в виде $|x|^2 - 7|x| + 6 = 0$.
Пусть $t = |x|$, при этом $t \ge 0$. Получаем квадратное уравнение:
$t^2 - 7t + 6 = 0$
Корни этого уравнения (по теореме Виета) $t_1 = 1$ и $t_2 = 6$. Оба корня неотрицательны.
Выполним обратную замену:
Если $|x| = 1$, то $x = \pm 1$.
Если $|x| = 6$, то $x = \pm 6$.
Ответ: $\pm 1; \pm 6$.

2) Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
1) $x^2 - x - 1 = 1$, что приводит к $x^2 - x - 2 = 0$.
Корни этого уравнения по теореме Виета: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.
2) $x^2 - x - 1 = -1$, что приводит к $x^2 - x = 0$, или $x(x - 1) = 0$.
Корни этого уравнения: $x_3 = 0$, $x_4 = 1$.
Объединяя решения, получаем все корни.
Ответ: $-1; 0; 1; 2$.

3) Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
1) Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$x \cdot x + 12x - 45 = 0 \implies x^2 + 12x - 45 = 0$.
Дискриминант $D = 12^2 - 4(1)(-45) = 144 + 180 = 324 = 18^2$.
Корни: $x = \frac{-12 \pm 18}{2}$.
$x_1 = \frac{6}{2} = 3$. Этот корень удовлетворяет условию $x \ge 0$.
$x_2 = \frac{-30}{2} = -15$. Этот корень не удовлетворяет условию $x \ge 0$.
2) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$x(-x) + 12x - 45 = 0 \implies -x^2 + 12x - 45 = 0 \implies x^2 - 12x + 45 = 0$.
Дискриминант $D = (-12)^2 - 4(1)(45) = 144 - 180 = -36 < 0$.
В этом случае действительных корней нет.
Ответ: $3$.

4) Поскольку $x^2 = |x|^2$, уравнение можно переписать: $3|x|^2 + 7|x| - 6 = 0$.
Пусть $t = |x|$, где $t \ge 0$.
$3t^2 + 7t - 6 = 0$.
Дискриминант $D = 7^2 - 4(3)(-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.
Корни: $t = \frac{-7 \pm 11}{6}$.
$t_1 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Этот корень удовлетворяет условию $t \ge 0$.
$t_2 = \frac{-18}{6} = -3$. Этот корень не удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Возвращаемся к замене: $|x| = \frac{2}{3}$, откуда $x = \pm \frac{2}{3}$.
Ответ: $\pm \frac{2}{3}$.

5) Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0$.
При $x \ne 0$ выражение $\frac{x^2}{|x|} = \frac{|x|^2}{|x|} = |x|$.
Уравнение принимает вид: $2x^2 - 13|x| + 6 = 0$.
Так как $x^2 = |x|^2$, получаем: $2|x|^2 - 13|x| + 6 = 0$.
Пусть $t = |x|$, где $t > 0$ (из ОДЗ).
$2t^2 - 13t + 6 = 0$.
Дискриминант $D = (-13)^2 - 4(2)(6) = 169 - 48 = 121 = 11^2$.
Корни: $t = \frac{13 \pm 11}{4}$.
$t_1 = \frac{24}{4} = 6$ и $t_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.
Обратная замена: $|x| = 6 \implies x = \pm 6$; $|x| = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{1}{2}$.
Ответ: $\pm 6; \pm \frac{1}{2}$.

6) ОДЗ: $x \ne 0$. Раскроем модуль.
1) Если $x > 0$, то $|x| = x$. Уравнение: $\frac{x^3}{x} - 14x - 15 = 0 \implies x^2 - 14x - 15 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = 15$, $x_2 = -1$. Условию $x > 0$ удовлетворяет только $x_1 = 15$.
2) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение: $\frac{x^3}{-x} - 14x - 15 = 0 \implies -x^2 - 14x - 15 = 0 \implies x^2 + 14x + 15 = 0$.
Дискриминант $D = 14^2 - 4(1)(15) = 196 - 60 = 136$.
Корни: $x = \frac{-14 \pm \sqrt{136}}{2} = \frac{-14 \pm 2\sqrt{34}}{2} = -7 \pm \sqrt{34}$.
Оба корня $x_3 = -7 + \sqrt{34}$ и $x_4 = -7 - \sqrt{34}$ отрицательны и подходят.
Ответ: $15; -7 \pm \sqrt{34}$.

7) Так как $\sqrt{x^2} = |x|$, уравнение можно переписать в виде: $x^2 - 8|x| - 9 = 0$.
Используя $x^2 = |x|^2$, получаем: $|x|^2 - 8|x| - 9 = 0$.
Пусть $t = |x|$, где $t \ge 0$.
$t^2 - 8t - 9 = 0$.
По теореме Виета, корни $t_1 = 9$ и $t_2 = -1$.
Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только $t_1 = 9$.
Обратная замена: $|x| = 9$, откуда $x = \pm 9$.
Ответ: $\pm 9$.

8) Так как $\sqrt{x^2} = |x|$, уравнение принимает вид: $x^2 + 7|x| + 12 = 0$.
Для любого действительного $x$ выполняются неравенства $x^2 \ge 0$ и $|x| \ge 0$.
Следовательно, левая часть уравнения $x^2 + 7|x| + 12 \ge 0 + 7 \cdot 0 + 12 = 12$.
Поскольку левая часть уравнения всегда больше или равна 12, она никогда не может быть равна нулю.
Ответ: корней нет.

9) Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
1) Если $x + 4 \ge 0$, то есть $x \ge -4$.
Уравнение: $x^2 + x + 4 = 4 \implies x^2 + x = 0 \implies x(x+1) = 0$.
Корни $x_1 = 0$, $x_2 = -1$. Оба корня удовлетворяют условию $x \ge -4$.
2) Если $x + 4 < 0$, то есть $x < -4$.
Уравнение: $x^2 - (x + 4) = 4 \implies x^2 - x - 8 = 0$.
$D = (-1)^2 - 4(1)(-8) = 33$. Корни: $x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2}$.
Корень $x_3 = \frac{1 + \sqrt{33}}{2} > 0$, не удовлетворяет $x < -4$.
Корень $x_4 = \frac{1 - \sqrt{33}}{2} \approx \frac{1-5.74}{2} \approx -2.37$, не удовлетворяет $x < -4$.
В этом случае решений нет.
Ответ: $-1; 0$.

10) Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
1) Если $x - 2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$.
Уравнение: $x(x - 2) - 6x + 8 = 0 \implies x^2 - 8x + 8 = 0$.
$D/4 = (-4)^2 - 8 = 8$. Корни $x = 4 \pm \sqrt{8} = 4 \pm 2\sqrt{2}$.
Корень $x_1 = 4 + 2\sqrt{2}$ удовлетворяет условию $x \ge 2$.
Корень $x_2 = 4 - 2\sqrt{2} \approx 4 - 2.82 = 1.18$ не удовлетворяет условию $x \ge 2$.
2) Если $x - 2 < 0$, то есть $x < 2$.
Уравнение: $x(-(x - 2)) - 6x + 8 = 0 \implies -x^2 - 4x + 8 = 0 \implies x^2 + 4x - 8 = 0$.
$D/4 = 2^2 - (-8) = 12$. Корни $x = -2 \pm \sqrt{12} = -2 \pm 2\sqrt{3}$.
Корень $x_3 = -2 + 2\sqrt{3} \approx -2 + 3.46 = 1.46$ удовлетворяет условию $x < 2$.
Корень $x_4 = -2 - 2\sqrt{3}$ очевидно меньше 2, так как он отрицательный. Он тоже подходит.
Ответ: $4 + 2\sqrt{2}; -2 \pm 2\sqrt{3}$.