Номер 20.27, страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 20.27, страница 173.

Условие.

20.27. Решите уравнение $(\sqrt{x}-3)(x^2+4x-21)=0.$

Решение.

Данное уравнение $(\sqrt{x}-3)(x^2+4x-21)=0$ представляет собой произведение, равное нулю. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом имеют смысл.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). В уравнении присутствует корень $\sqrt{x}$, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Теперь рассмотрим два случая, при которых произведение равно нулю:

1) Первый множитель равен нулю:
$\sqrt{x}-3=0$
$\sqrt{x}=3$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$x = 3^2$
$x=9$
Проверяем, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $9 \ge 0$. Да, удовлетворяет. Следовательно, $x=9$ является корнем уравнения.

2) Второй множитель равен нулю:
$x^2+4x-21=0$
Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$
$\sqrt{D} = 10$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4+10}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4-10}{2} = \frac{-14}{2} = -7$
Проверим эти корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$):
Корень $x_1=3$ удовлетворяет ОДЗ, так как $3 \ge 0$.
Корень $x_2=-7$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-7 < 0$, и является посторонним корнем.

Объединяя все найденные корни, удовлетворяющие ОДЗ, получаем окончательное решение.

Ответ: 3; 9.