Номер 20.33, страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 20.33, страница 173.

Условие.

20.33. Решите уравнение:

1) $|x^2 - 2x| = 3 - 2x;$

2) $|x - 3| = x^2 - 6x + 3.$

Решение.

1) $|x^2 - 2x| = 3 - 2x$

Уравнение вида $|f(x)| = g(x)$ равносильно системе, в которой правая часть неотрицательна, а подмодульное выражение равно правой части или противоположно ей.

$ \begin{cases} g(x) \ge 0, \\ \left[ \begin{aligned} f(x) = g(x), \\ f(x) = -g(x). \end{aligned} \right. \end{cases} $

Применительно к нашему уравнению, система выглядит так:

$ \begin{cases} 3 - 2x \ge 0, \\ \left[ \begin{aligned} x^2 - 2x = 3 - 2x, \\ x^2 - 2x = -(3 - 2x). \end{aligned} \right. \end{cases} $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив неравенство:

$3 - 2x \ge 0$

$3 \ge 2x$

$x \le 1.5$

Решения уравнения должны удовлетворять этому условию.

2. Решим первое уравнение совокупности:

$x^2 - 2x = 3 - 2x$

$x^2 = 3$

$x_1 = \sqrt{3}, \quad x_2 = -\sqrt{3}$

Проверим корни. Корень $x_1 = \sqrt{3} \approx 1.73$ не удовлетворяет условию $x \le 1.5$. Корень $x_2 = -\sqrt{3}$ удовлетворяет условию $x \le 1.5$, так как $-\sqrt{3} \approx -1.73$.

3. Решим второе уравнение совокупности:

$x^2 - 2x = -(3 - 2x)$

$x^2 - 2x = -3 + 2x$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Следовательно, корни $x_3 = 1$ и $x_4 = 3$.

Проверим корни. Корень $x_3 = 1$ удовлетворяет условию $x \le 1.5$. Корень $x_4 = 3$ не удовлетворяет условию $x \le 1.5$.

Объединяя все подходящие корни, получаем окончательное решение.

Ответ: $-\sqrt{3}; 1$.

2) $|x - 3| = x^2 - 6x + 3$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака подмодульного выражения.

Случай 1: $x - 3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$.

В этом случае $|x - 3| = x - 3$. Уравнение принимает вид:

$x - 3 = x^2 - 6x + 3$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 - 7x + 6 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 6. Корни: $x_1 = 1, \quad x_2 = 6$.

Проверим, удовлетворяют ли корни условию данного случая ($x \ge 3$):

Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $1 \ge 3$, следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 6$ удовлетворяет условию $6 \ge 3$, следовательно, это решение.

Случай 2: $x - 3 < 0$, то есть $x < 3$.

В этом случае $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$. Уравнение принимает вид:

$3 - x = x^2 - 6x + 3$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 - 5x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 5) = 0$

Корни: $x_3 = 0, \quad x_4 = 5$.

Проверим, удовлетворяют ли корни условию данного случая ($x < 3$):

Корень $x_3 = 0$ удовлетворяет условию $0 < 3$, следовательно, это решение.

Корень $x_4 = 5$ не удовлетворяет условию $5 < 3$, следовательно, это посторонний корень.

Объединяя решения, полученные в обоих случаях, получаем итоговый ответ.

Ответ: $0; 6$.