Номер 20.36, страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 20.36, страница 173.

Условие.

20.36. При каких значениях параметра b имеет единственный корень уравнение:

1) $bx^2 - 6x - 7 = 0;$

2) $(b + 5)x^2 - (b + 6)x + 3 = 0;$

3) $(b - 4)x^2 + (2b - 8)x + 15 = 0;$

4) $(b + 2)x^2 + (b^2 + 2b)x + b + 2 = 0?$

Решение.

Уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ имеет единственный корень в двух случаях:

1. Когда уравнение является линейным, то есть коэффициент $A=0$, а коэффициент $B \neq 0$. Тогда уравнение принимает вид $Bx+C=0$ и имеет один корень $x = -C/B$.
2. Когда уравнение является квадратным ($A \neq 0$), и его дискриминант равен нулю ($D=B^2 - 4AC = 0$).

Рассмотрим каждый случай.

1) $bx^2 - 6x - 7 = 0$

Случай 1: Уравнение линейное.
Коэффициент при $x^2$ равен нулю: $b=0$.
Уравнение принимает вид: $0 \cdot x^2 - 6x - 7 = 0$, то есть $-6x - 7 = 0$.
Это линейное уравнение, которое имеет один корень $x = -7/6$.
Следовательно, $b=0$ является решением.

Случай 2: Уравнение квадратное с нулевым дискриминантом.
Это возможно при $b \neq 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \cdot b \cdot (-7) = 36 + 28b$.
Приравняем дискриминант к нулю:
$36 + 28b = 0$
$28b = -36$
$b = -36/28 = -9/7$.
Это значение не равно нулю, поэтому условие $b \neq 0$ выполняется.
Таким образом, $b = -9/7$ также является решением.

Ответ: $b=0$ или $b=-9/7$.

2) $(b + 5)x^2 - (b + 6)x + 3 = 0$

Случай 1: Уравнение линейное.
Коэффициент при $x^2$ равен нулю: $b+5=0$, то есть $b=-5$.
При $b=-5$ уравнение принимает вид:
$0 \cdot x^2 - (-5+6)x + 3 = 0$
$-x + 3 = 0$
Это линейное уравнение, которое имеет один корень $x=3$.
Следовательно, $b=-5$ является решением.

Случай 2: Уравнение квадратное с нулевым дискриминантом.
Это возможно при $b+5 \neq 0$, то есть $b \neq -5$.
Найдем дискриминант: $D = (-(b+6))^2 - 4 \cdot (b+5) \cdot 3 = (b+6)^2 - 12(b+5)$.
Приравняем дискриминант к нулю:
$(b^2 + 12b + 36) - (12b + 60) = 0$
$b^2 + 12b + 36 - 12b - 60 = 0$
$b^2 - 24 = 0$
$b^2 = 24$
$b = \pm\sqrt{24} = \pm2\sqrt{6}$.
Оба значения не равны -5, поэтому условие $b \neq -5$ выполняется.
Таким образом, $b = 2\sqrt{6}$ и $b = -2\sqrt{6}$ также являются решениями.

Ответ: $b=-5$, $b=2\sqrt{6}$ или $b=-2\sqrt{6}$.

3) $(b - 4)x^2 + (2b - 8)x + 15 = 0$

Случай 1: Уравнение линейное.
Коэффициент при $x^2$ равен нулю: $b-4=0$, то есть $b=4$.
При $b=4$ уравнение принимает вид:
$0 \cdot x^2 + (2 \cdot 4 - 8)x + 15 = 0$
$0 \cdot x + 15 = 0$
$15=0$
Это неверное равенство, уравнение не имеет корней. Следовательно, $b=4$ не является решением.

Случай 2: Уравнение квадратное с нулевым дискриминантом.
Это возможно при $b-4 \neq 0$, то есть $b \neq 4$.
Заметим, что коэффициент при $x$ равен $2b-8 = 2(b-4)$.
Найдем дискриминант: $D = (2b-8)^2 - 4 \cdot (b-4) \cdot 15 = (2(b-4))^2 - 60(b-4) = 4(b-4)^2 - 60(b-4)$.
Приравняем дискриминант к нулю:
$4(b-4)^2 - 60(b-4) = 0$
Вынесем общий множитель $4(b-4)$ за скобки:
$4(b-4)((b-4) - 15) = 0$
$4(b-4)(b-19) = 0$
Отсюда $b-4=0$ или $b-19=0$.
Получаем $b=4$ или $b=19$.
Однако, мы рассматриваем случай, когда $b \neq 4$. Поэтому $b=4$ не подходит.
Остается единственное решение $b=19$.

Ответ: $b=19$.

4) $(b + 2)x^2 + (b^2 + 2b)x + b + 2 = 0$

Случай 1: Уравнение линейное.
Коэффициент при $x^2$ равен нулю: $b+2=0$, то есть $b=-2$.
При $b=-2$ уравнение принимает вид:
$0 \cdot x^2 + ((-2)^2 + 2(-2))x + (-2+2) = 0$
$0 \cdot x^2 + (4-4)x + 0 = 0$
$0 \cdot x = 0$
Это равенство верно для любого значения $x$. Уравнение имеет бесконечно много корней. Это не соответствует условию "единственный корень".
Следовательно, $b=-2$ не является решением.

Случай 2: Уравнение квадратное с нулевым дискриминантом.
Это возможно при $b+2 \neq 0$, то есть $b \neq -2$.
Коэффициенты: $A = b+2$, $B = b^2+2b = b(b+2)$, $C = b+2$.
Найдем дискриминант: $D = (b^2+2b)^2 - 4 \cdot (b+2) \cdot (b+2) = (b(b+2))^2 - 4(b+2)^2$.
Приравняем дискриминант к нулю:
$b^2(b+2)^2 - 4(b+2)^2 = 0$
Вынесем общий множитель $(b+2)^2$ за скобки:
$(b+2)^2(b^2-4) = 0$
$(b+2)^2(b-2)(b+2) = 0$
$(b+2)^3(b-2) = 0$
Отсюда $b+2=0$ или $b-2=0$.
Получаем $b=-2$ или $b=2$.
Поскольку мы рассматриваем случай, когда $b \neq -2$, значение $b=-2$ не подходит.
Остается единственное решение $b=2$.

Ответ: $b=2$.